CHAPITRE II VIII. a5j

des valeurs très-petites. D'après cela, on peut se croire en droit de négliger les puissances de ces inconnues, supérieures à la première, el leurs produits les unes par les autres; de sorte que la question est ramenée à la résolution d'équatious du premier degré. C'est là le procédé employé par Hewton, mais sans aucune des garanties et des moyens d'abréviation que renferme la méLhode de Fourier, qui sous tous ces rapports n'a point encore été surpassée.

230. L'important LliiWèmc de Fourier sur le nombredes racines qui peuvent être comprises tu ire deux nombres donnés, est d'une application très-facile, el comprend même, comme cas particulier, la célèbre règle des signes de Descarlcs. Mais il a comme celui de Descartes l'inconvé-

vent n'existent pas, et de donner lieu ;i beaucoup de calculs inutiles, avant qu'on parvienne à reconnaître leur absence. Celle lacune dans la théorie de cet illustre géomètre devait Être comblée de son vivant, et, comme cela était assez naturel, par un de ses propres disciples.

231 . Sturm, qui avait connaissance, comme il le dit luimême, non-seulement des Mémoires publiés par son mailrc,

par conséquent juger avec précision ce qui manquait à la théorie, cherclia d'abord à bien reconnaître ce qui empêchait Fourier de pouvoir assigner le nombre exact des racines comprises entre deux nombres donnés, et ne permettait d'en indiquer avec certitude qu'une simple limite. Ayant reconnu la cause, il chercha à y remédier en substituant aux fonctions dérivées employées par Fourier, d'autres polynômes irès-dilïérents, qui n 'offraient plus le même inconvénient. F,t alors, imitant, comme il le dit avec naïveté, les démonstrations de son maître, il est parvenu à la découverte du théorème qui porte son nom, et qui permet ■7

a58 SCt El CE DES, NOHBEES.

d'assigner le nombre c\act des racines comprises dans un. intervalle donne.

Malheureusement l'application de ce théorème n'est pas aussi facile que celle du théorème de Fourier; les calculs sont très-longs, par conséquent exposé» ïi des erreurs qui pourraient infirmer les conséquences : on peut Lien quelquefois les éviter par des remarques particulières, niais tout le monde ne peut pas les faire, et on a besoin de procédés que tout le monde puisse employer avec le même succès. Il est vrai que ces longs calculs pourraient servir dans le ras où on appliquerait la théorie des racines égales : mais enfin, pour le but même que se propose le théorème, le grand avantage qu'il procure est quelquefois acheté un peu

Pour procéder à la séparation des racines réelles, sup-

nombres successifs o, i, 10, 100,. . . jusqu'à la limite supérieure, et on ne s'occupera que de ceux de ces intervalles où il s'en trouvera. Supposons, par exemple, qu'il y en ait trois entre i et to. Ou essayera le nombre moyeu 5 et on saura combien il y aura de racines entre i et à, et par suite entre 5 et 10. S'il y en a une dans l'uu des intervalles et deux dans l'autre, on ne s'occupera plus que de la séparation de ces deux : et pour cela on essayera le nombre moyeu, et on continuera ainsi jusqu'à te que les trois soient séparées.

Ce procédé pourra exiger beaucoup d'essais, s'il y a des racines qui aient eutre elles une très-petite différence; mais

beaucoup, sans compter que si on ne faisait pas usage de celui de Sturm, on ferait des essais innombrables dans des intervalles où il n'existe aucune racine. Les racines étant séparées, on procéderait à la recherche de leurs valeurs approchées au moyen do la méthode de Fourier.

Nous n'avons fail qu'indiquer imparfaitement ces remarquables méthodes, parce qu'il faudrait trop de développcnients pour les faire bien connaître, et que cela sortirait même des bornes qu'on s'impose ordinairement dans les Traites spéciaux d'Algèbre. C'est dans les ouvrages mêmes des auteurs qu'il faut les étudier : et nous devons d'autant plus nous en dispenser qu'elles n'offrent aucune difficulté fondamentale, el qu'on en saisît immédiatement l'esprit. Toutefois, il était nécessaire d'en dire quelques mots à cause de leur importance théorique et pratique.

232. fiacines imaginaires. — Nous savons que les équations dont le premier membre est un polynôme à coefficients réels, ou de In forme a -J-6 v'— i, ne peut avoir que des racines réelles, ou de la forme a + S \/ — i, et que le nombre de ces racines est égal au degré de l' équation, en tenant compte du degré de multiplicité des racines.

Cela posé, si l'on cherche les racines de cette forme, il suffira de substituer à x^y-i-zy — i dans l'équation, et d'égaler à zéro la partie réelle et le coefficient de <J — i . On aura ainsi deux équations entre r et z, dont il faudra chercher les solutions commune! réelles. Nous nous bornerons sur ce point à celle simple indication.

La résolution de deux équntidiis ;'i deux inconnues, à laquelle on est ainsi ramené, se l'ait ordinairement par l'élimination de l'une des deux, ce qui exige des calculs trespénibles et des discussions très-épi ncuscs, venant du défaut de réciprocité dos problèmes successifs auxquels on est ramené. Cette question est traitée avec détail dans les ouvrages spéciaux; mais nous croyons d'autant plus pouvoir nous en dispenser que, pour la résolu) ion des équations numériques, nous avons entendu Fouricr déclarer positivement que la méthode d'élimination ne devait pas être em- •7-

ployée j qu'il fallait approcher en même temps des valeurs de toutes les inconnues; et que la seule méthode à employer élait telle de Newton, étendue à plusieurs inconnues, et perfectionnée pour ce cas comme elle l'avait été pour le cas d'une seule inconnue. Malheurcusemen t les idées de ce grand géomètre sur ce point important n'ont jamais été publiées.

Lorsque l'on aura étudié 1rs principales théories de la Géométrie élémentaire, et de l'application réciproque que l'on peut faire de celte science et de celle des nombres, on pourra revenir sur la résolution des équations numériques et sur quelques autres questions que nous n'avons fait qu'indiquer, parce que leur solution est considérablement facilitée par les seeours que la Géométrie peut prêter à la science des nombres.