CHAPITRE XXÏX
QUELQUES PROBLÈMES AYANT POUR OBJET LA DÉTERMINATION D'UNE FONCTION, D'APRÈS UNE PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE .
233. Eulcr, cherchant à étendre la formule du binôme à un exposant quelconque, a été conduit à celte question : Trouver une fonction y satisfaisant à la condition que, quelles que soient les valeurs des variables x, y, on ait
Dans une autre question, Lagrange s'est proposé de déterminer une fonction <f par cette autre condition
Les solutions dn ces grands géomètres laissaient à désirer sous le rapport de la rigueur; mais Caucliy, dans son Cours d'analyse algébrique, en a donné qui sont exemples de toute difficulté, et que nous présenterons avec de légère» modifications.
Problème I.
234. Trouver la forme la plus générale de la fonctionréelle <f qui jouit de la propriété qu'on ail, quelles que soient les valeurs réelles de x, y t
(i) fMî(;)-^+j].
La marche que nous suivrons sera analytique, par voie
muni do nouvi lli's propriétés dont doive jouir litulr fouclioo i[uî satisfait â (i); en d'autres termes, admettant qu'une fonction ç satisfasse à (i), nous en déduiront des conséquences, jusqu'à ce que nous pHrvcnions à mounaître qu'elle satisfera à quelque condition constituant une nouvelle question qu'on puisse résoudre.
Nous saurons seulement, d'après les méthodes générales exposées précédemment, que toutes les fondions satisfaisant à la condition (i) sont renfermées parmi celles qui satisferont à la dernière; niais que celle-ci peut en renfermer d'étrangères, si l'on n'a pu s'assurer di- la réciprocité. Il restera donc à les reconnaître et s'en débarrasser, s'il est pot si Lie.
Nous remarquerons d'abord que si une fonction satisfait à (i), quels que soient y et x, clic y satisfera quand on prendra y égal à x, et par conséquent satisfera à la sui-
fMîW = ,M ou T W=f(w).
De même clic satisfera à (1) eu prenant j- = ix, ou à et, d'après la précédente, à
Continuant ainsi de prendre pourj- des multiples successifs de x, on arrivera à
{*) tW-^ïH.
m représentant un nombre entier quelconque.
Ainsi toute fonction satisfaisant à la condition (i) satisfera à (a); et, par conséquent, si l'on déterminait toutes les
en A PITRE
solutions de cette dernière, elles renfermeraient celles de la proposée, mêlées peut-être avec des solutions étrangères.
Mais nous allons démontrer que la fonction cherchée doit satisfaire n (i) , non-seulement pour les valeurs entières et positives, mais pour toutes les valeurs réelles de m.
D'aliord l'équation (2) montrant que la fonction 9 (arj se trouve- élevée à la puissance m, quand on multiplie la valeur arbitraire de la variable x par m, il s'ensuit qu'en divisant la variable par un nombre entier m, on obtient la racine m u "* de la fonction. Car, partant de la valeur £ de la variable, et par suite de la valeur f (^j de la fonction; si l'on multipliait la valeur — par m, on aurait la puissance m de y I — )• Or on trouve 9 (.r) en opérant ainsi
sur la variable; donc f {x) est la puissance m ,! ""dc<f
On peut passer de là à la multiplication de la variable par un nombre rationnel quelconque -■
et, par suite,
Eu effet,
d'après ce qui vient d'Être démontré; et si l'on multiplie par p là valeur ^ de la variable, on élève à la puissance p la fonction ; donc
Et, par conséquent, la fonction cherchée (luit satisfaire à l'équation (a), quel que soil x, et pour toute valeur positive commcusurable de m, et par conséquent aussi pour toute valeur incommensurable.
Pour démontrer qu'elle y satisfera encore pour toute valeur négative de m, il faut d'abord connaître l'effet produit sur la fonction par le simple changement de signe de la variable. Pour cela, on fera^ = — x dans l'équation {i}, qui devient alors
?»f(-*) = t(o}i et pour connaître ç (o), on fera j ' = o dans (i), ce qui donnera
et, par suite,
d'où résulte
'!— '=ÏPÏ
Cela posé, soît n étant un nombre quelconque positif, on aura
>'-"> = îî=i',
et, d'après l'équation (t) démontrée pour m positif, on aura Donc
f f-»)-f(-ï-" ou i( m *)= T (*y-,
pour toute valeur négative de m, les exposants négatifs étant entendus dans le sens expliqué précédemment.
On peut conclure Je tout cela que toute fonction qui satisfera à l'équation (i), quelles que soient les valeurs réelles de x, j, satisfera, quelles que soient les valeurs réelles de x et m, à l'équation (a) qui est
fW= ,{■•*)■
Elle satisferait donc aussi à la suivante, ,(»,)'=?{■"'<).
et, par conséquent, à celle-ci
qui équivaut h
T (*) = T ( m r=[ T (- n pJ. ■
La fonction f (x) ne peut donc être que la puissance x d'une quantité indépendante de x, qu'on appelle ordinairement une constante, relativement à x, parce qu'elle peut conserver la même valeur quand x varie.
11 ne reste donc plus qu'à connaître la valeur de cette
constante <b {m) m , que nous désignerons par a, et à s'assurer s'il n'y a pas de solutions étrangères.
11 suffira pour cela de substituer a', a-' et a J+ ■' , à <J [x), f [y)' 9 (*+ y)-* el vo ' r ce 1 ue 'f 0 ' 1 utre a pour que la condition (i) soit remplie. Or elle l'est identiquement, quel que soit a. La solution de la question proposée peut donc être ainsi exprimée ;
La fonction la plus générale qui satisfait à la condition (i) est l'exponentielle a 1 , dont la base a est quelconque, mais indépendante de la variable X.
Si l'on avait des données particulières sur la fonction œ (x), la constante a pourrait se trouver déterminée:
aOO SCISHCE DBS HOMBRES.
comme, par exemple, si l'on connaissait la valeur qu'elle doit avoir pour une cerlainc valeur de X.
