PROBLÈME H

233. Déterminer la fonction tj par la condition que l'on ait, quelles que soient lesvaleurs réelles de x et y,

La suite des raisonnements est tellement semblable dans ce problème et dans le précédent, que nous ne forons en quelque sorle que les rappeler.

Ainsi, en faisant sucres:, i veinent ) éijal ans multiples entiers de x, ou aura, pour toute valeur entière et positive

Toute fonction <f satisfaisant, quels que soient x et j-, à (i) devra donc satisfaire à (a), quel que soit x, pourvu que ni soit entier et positif.

On démontrera, comme dans le cas précédent, que celte fonction devra satisfaire a (a) pour toute valeur positive de m; et ensuite pour toute valeur négative, cl par conséquent pour toute valeur réelle de m aussi bien que de or.

Elle satisfera donc à la suivante,

et, par suite, a celle-ci

qu'on peut mettre sous la forme

La fonction cherchée est donc renfermée dans la forme

générale ax, a désignant une quantité" indépendante de x', ou une constante relativement à !a variable x.

Pour savoir ce que doit èlre cette constante, et s'il j a des solutions étrangères, comme cela pourrait Être puisque la fonction trouvée satisfait seulement à une question qui est une conséquence de la proposée, il faut la substituer dans l'équation (i), qui est l'expression de celte dernière. Or un trouve une identité, quel que soit a.

On a donc pour la fonction -j demandée

a étant une constante arbitraire. Cette constante serait déterminée si l'on connaissait la valeur de 9 {x) pour une valeur particulière de x, différente de réro.

I'uOBLkvK 111.

236. Trouver la fonction la plus générale satisfaisant, quelques -valeurs réelles qu'aient x et y, à la condition

Faisant^ = x,on aura

rM=tW

Faisant y = x', on aura et pour toute valeur entière et positive de m,

Or, puisque l'élévation de la variable n une puissance entière produit l'élévation de la fonction à la même puissante, il en sera de même pour l'extraction de la racine;

et si l'on fait ces deux opérations successivement, on trouvera que l'élévation de x à la puissance positive quelconque ~ produit l'élévation de <f{x) à la puissance ^-

La fonction qui satisfait à (i) pour toute valeur réelle de x et y satisfait donc à (a) quelque soit a:, et quelle que soit la valeur positive de m.

Supposons maintenant m négatif, et posons

Pour savoir comment en général doit changer la fonction <f quand on change la variable dans sa valeur réci-

proque, faisons (i) donnera

et, pour connaître tj (i), il faudra faire y = i dans (i}, qui deviendra alors

fW»W=tW.

d'où

et, par suite,

T (ï) = ^' Il suit de là, en parlant de la valeur x" de la variable,

'(i)=7Fï:

k. a6g et comme n est positif, on a

d'où

L'équation (a) doit donc être satisfaite, quels que soient a: et m, par toute fonction, satisfaisant à la question proposée.

Pour obteuir dans le second membre la symétrie que les deux problèmes précédents ont présentée, il suffit de poser

a étant une constante positive, pour que x soit toujours réel ; et z pouvant avoir toutes les valeurs positives ou négatives, mais en s' assujettissant à ne prendre pour x que des valeurs positives. L'équation (a) deviendra

Changeant z en m, et réciproquement, il vient

b étant indépendant et positif, si on ne considère que les valeurs réelles de o (n") ou de <f (x) de 2, et par suite de x.

Remplaçant a' par x et b par n% la dernière équation devient (3)

c désignant une valeur réelle arbitrai rit.

d'où

et, par suite,

ajO SC1ENCB DU BOKBKE5.

Pour reconnaître si clic est assujettie à îles restrictions, substituons cette forme de f dans (i), nous obtiendrons

équation identique, quoi que soit c.

La solution générale de la question proposée est donc donnée par la formule (3) . Mais il faut bicu remarquer que nous nous sommes assujettis à uc prendre que les valeurs positives des variables, pour n'avoir que des valeurs réelles pour la fonction.

Problème IV.