DES SÉRIES

238. On appelle série une suite de termes positifs ou négatifs, dont le nombre est illimité.

Les fractions décimales périodiques nous en ont offert le premier exemple. Les périodes, considérées avec leur valeur de position, constituaient môme une des séries les plus simples que l'on puisse concevoir, une progression par quotient. En prenant au lieu de cela pour termes les différents chiffres avec leur valeur de position, on aurait une série dont la loi serait moins simple. Mais, de quelque manière qu'on réunisse les chiures pour composer des ternies, on obtiendra ce que nous nommons un série; tous ses termes seront positifs, et, comme nous l'avons prouvé, leur somme tendra vers une limile déterminée.

De quelque forme que soient les termes d'une série, il faut, pour qu'elle puisse donner lieu à des considérations de grandeur, quand on ne fixe pas le nombre des termes, et qu'on entend les ajouter indéfiniment les uns aux autres, que la somme de ces termes converge vers une limite déterminée, lorsque leur nombre augmente sans limite.

Et commençons par rappeler le sens précis que nous attachons au mot limite.

La limite d'une variable est une quantité fixe telle que la différence de la variable à cette quantité, puisse devenir et rester au-dessous de toute quantité désignée.

Dans cette définition, il n'est pas question du signe de la différence; de sorte que la variable peut être tantôt inférieure, tantôt supérieure à la quantité fixe. La variable

peut être continue ou discontinue. La seule chose essentielle, c'est qu'après des écarts, aussi irréguliers qu'on voudra les imaginer, la variable finisse par rester comprise entre deux valeurs, l'une plus grande, l'autre plus petite que la quantité fixe, el dont la différence à celle quantité puisse être prise moindre que toute grandeur désignée, si petite qu'elle soit.

239. Il n'est utile de considérer que les séries dont la somme des termes tend vers une limite à mesure que leur nombre augmente indéfiniment. Nous les désignerons sous le nom de séries convergentes. Nous appellerons divergentes celles dont la somme des termes ne tend vers aucune limite, soit parce qu'elle grandit indéfiniment avec un signe quelconque, soit que, tout en restant limitée, elle ne s'approche indéfiniment d'aucune quantité fixe. Ces dernières ne peuvent représenter aucun nombre déterminé. Les premières au contraire peuvent représenter leur limite ii aussi peu près qu'on voudra.

240. L'expression d'une quantité par une série dont elle est la limite, peut avoir pour objet de substituer à une indication d'opérations compliquées une suite de termes plus simples, et dont on peut souvent choisir la forme de manière qu'elle soit lu mieux appropriée à la question. C'est ce qu'on fait quand on substitue une fraction décimale périodique à une fraction ordinaire. Quelquefois la quantité développée en série ne peut être obtenue exactement, même quand les nombres dont elle dépend sont particularisés, comme par exemple quand elle dépend d'extractions de racines de nombres qui ne sont pas des puissances exactes. Enfin la quantité développée peut être une inconnue, dépendant même de variables arbitraires, et qu'il est possible de considérer comme limite de la somme d'un

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nombre indéfini de termes renfermant ces variables sous la forme qu'on a jugée la plus favorable.

Dans lous les cas, pour qu'une série puisse être employée au calcul des grandeurs, i! faul qu'elle ait une limite, et que cette Ji mite soit bien la quantité qu'on a voulu exprimer, La première chose dont on doit s'occnper dans cetta théorie est donc de trouver des moyens de s'assurer si une série est ou n'est pas convergente. Nous no nous arrêterons pas A démontrer ces règles, qui se trouvent dans tous les Traitât) mats -nous ne pouvons non plus nous dispenser entièrement d'en parler.

DES RÉGLÉS POUR LA COUVEItGENCE DES SÉRIES.

241 . La plus simple de toutes les séries convergentes est la progression par quotient, dont la raison est plus petite que l'unité. Archimède est le premier qui ait donné l'expression de la somme de ses termes, et ait reconnu la limite vers laquelle elle tend. C'est à cette série qu'on a d'abord pensé à comparer toutes les autres ayant comme elle tous

Cette comparaison est fondée sur cette considération bien

à leurs correspondants dans une autre, la somme d'uli même nombre quelconque de termes, supposés tous positifs, sera moindre dans la seconde que dans la première; et que, par conséquent, si cette somme tend vers une limite daus la première, elle aura aussi une limite dans la seconde. Cûmmfl aussi on peut affirmer que si deux séries à termes positifs sont telles, que les termes de la seconde soient lous plus grands respectivement que ceux de la premirre, et que la somme des termes do celle-ci croisse indéfiniment avec le nombre des termes, il eu sera de même à plus forlo raison dans la seconde.

chapitre m> 2^5 D'après cela, il a été assez naturel de penser que, puisqu'une série est convergente lorsque le rapport d'un terme au précédent est constant et plus petit que l'unité, 11 en serait de înâmed'nne série dans laquelle ce rapport ne serait pas constant, mais serait toujours inférieur h un nombre Gse plus petit que l'unité. Car ses termes Seraient inférieurs à ceutf Je la série que l'on obtiendrait en prenant, au lieu du véritable rapport, ce nombre fixe qui lui est cou* stamment supérieun Or cette dernière serait une progression par quotient, ayant une limite, La proposée en mu ait

Et il faut bien remarquer qu'il n'est pas nécessaire que cette condition ait lieu dès le premier ternie de la série; il suffit qu'elle ait lieu depuis un certain ternie, quelque avancé qu'il soit dans la série i car la somme de tous le» termes précédents étant déterminée, l'existence d'une limite pour la somme des termes de la série ne dépend que de ceux qui suivent. On a donc pu formuler cette première règle pour reconnaître la convergence des séries dont toUs les termes sont positifs, et qui est vraie à plus forte raison quand les signes ne sont pas tous les mêmes.

« Une série est convergente quand, à partir d'un de ses termes, le rapport d'un terme au précédent est toujours au-dessous d'un nombre fixe plus petit que l'unité. »

242. Et l'on conclut facilement de ce qui précède celte autre proposition :

ri Une série est divergente quand, à partir d'un de ses termes, le rapport d'un terme au précédent est toujours supérieur à un nombre fixe plus grand que l'unité. M

Car ses ternies seront supérieure à ceux d'une progrès-* sion par quotient dont le rapport sera plus grand que l'unité, et dont les termes iront par conséquent en croissant sans limite. Ainsi la somme des ternies de la série proposée

croîtra sans limite s'ils sont du même signe: cl, lors même que lus [craies seraient les uns positifs, les mures négatifs, ce qui tend à établir des compensations, la série ne satisferait pas aux conditions qui entrent dans notre définition de limite, puisque, ses termes croissant sans limite, la différence de deux sommes consécutives croîtra indéfiniment ; et par conséquent leur différence à une même* quantité fixe ne peut Être au-dessous de toute grandeur donnée. La même conclusion aurait encore lieu si les lormcs, au lieu de croître indéfiniment, étaient seulement toujours supérieurs à un nombre lise, si petit qu'il fût.

243. Mais quelle règle donner pour reconnaître si le rapport d'un terme au précédent finit par être toujours inférieur à un nombre plus petit que l'unité, ou toujours supérieur à un nombre plus grand que l'unité.

Lorsque la loi de la série ne permettra de reconnaître Immédiatement l'une ou l'autre de ces conditions, on prendra l'expression générale du rapport d'un terme an précédent; et l'on aura ainsi" une certaine fonction du nombre qui exprime le rang du premier des deux. On cherchera la limite vers laquelle tend celle fonction à mesure que ce nombre augmente; el c'est à ce problème bien déterminé que se ramène la solution de celui qu'on se propose. Car si celte limite est moindre que l'unité, le rapport, qui en approche indéfiniment, finira par clic toujours inférieur à tout nombre compris entre celle limite et un nombre choisi arbitrairement entre elle et l'unité. Et l'on voit de mémo que le rapport finira par être toujours supérieur à un nombre plus grand que l'imite, si celte limite est plus grande que l'unité,

Le seul cas où il y aurait doulc sur la convergence ou la divergence d'une série, serait donc celui où la limite en question serait l'unité. Et encore il n'y aurait aucun douie