CHAPITRE XXX

si le rapport tendait vers l'unité, en étant touj ours au-dessus. Car alors les termes de la série iraient constamment en croissant, et, par conséquent, quels que fussent leurs

C'est donc pour le cas que cette première règle si simple laisse douteux, qu'il faut en chercher d'autres plus efficaces; et c'est à quoi l'on est parvenu, sans en avoir cependant pu découvrir qui soient applicables avec succès à tous les cas. Nous laisseronsers détails intéressants aux ouvrages et Mémoires qui traitent ce sujet spécial.

244. Limite de V erreur. — Quand on veut calculer par approximation la limite de la somme des termes d'une série, il est absolument nécessaire de déterminer une limite

qu'à partir de ce terme, le rapport d'un quelconque au précédent est au-dessous d'un nombre connu, plus petit que l'unité. Car alors, en supposant même le signe -+- à tous les suivants, la limite de leur somme, qui constitue l'erreur, est moindre que la limite de la somme d'une progression convergente connue; txtle dernière est donc supé-

245. Série! dont Us t.rniie* sont alternalivcnient positifs et négatifs. — Si, à partir d'un certain terme d'une série, les suivants sont alternativement positifs et négatifs, décroissant constamment, et pouvant devenir moindres que tout nombre donné, la série est toujours convergente; et à quelque terme qu'on arrête la somme, l'erreur est moindre que le terme suivant, et de même signe que lui.

La démonstration du celle proposition est très-facile, et nous n'en parlerons pas; mais nous ferons sur ces sortesde séries une remarque assez curieuse, quoique sans grande utilité.

Si l'on considère séparément ta série formée de tous les [erjnes positifs de la proposée, et celle qui serait formée de tous ceux qui sont négatifs,- et qu'on prendrait avec le signe + , les sommes des termes do ces deux nouvelles séries pourraient n'avoir pas de limite, parce qu'il no suffit pas pour cela que les termes tendent vers zéro. Dans le cas où idlcs n'en auraient ni l'une ni l'autre, la somme des termes de la proposée est la différence de deux sommes variables, indéfiniment croissantes, cl dans lesquelles il est expressément entendu que le nombre des termes sera le même, à une unité près tout au plus. Mais ce serait un non-sens que de dire que la limite do la proposée est la différence des sommes infinies des deux séries. Et ce serait une erreur de croire qu'on peut prendre des nombres arbitrairement inégaux de termes dani l'une et dans l'autre, et faire la différence des di'ux sommes. On n'aurait aucune raîson de croire que la limite de cette différence serait la limite de la proposée, qui s'obtient en prenant des nombres de termes égaux, à une unité près tout au plus. Maïs il y a plus, et l'on peut facilement reconnaître que, mÈmc en avançant indéfiniment dans les deux séries, la différence des sommes est complètement indéterminée, ainsi que sa

En effet, que l'on prenne dans l'une des deux un certain nombre de termes ; on pourra dans l'autre, dont la somme n'a pas de limite, prendre asser de termes pour que leur somme surpasse la première de plus qu'une quanlité désignée, ou soit avec elle dans un rapport supérieur A un rapport donné. On peut donc avoir pour la différence des deux sommes une quantité tendant vers une limite arbitraire, ou même devenant plus grande que toute quantité donnée.

Il n'y a là rien de plus remarquable que dans toutes les questions où une quantité est la limite de la différence de deux quantités indéfiniment croissantes, mais qui doivent

chapitre xtjt. 27g être prises simultanément suivant îles conditions bien déterminées. La Géométrie en offrirait de» exemple» simples, en aussi grand nombre que l'on voudrait.

indéfiniment croissantes qui peut donner Hep à ces remarques. On exprime quelquefois lies quantités par le rapport de deux produits composés d'un nombre indéfiniment croissant de facteurs : c'est ainsi, par exemple, que Wallis a représenté le rapport de la circonférence au diamètre. Le nombre des facteurs doit Être le même au numérateur qu'au dénominateur ; et si l'on en mettait seulement un de plus d'un côté ou de l'autre, on aurait des résultats entièrement erronés. Dans ce cas, c'est le rapport au lieu de la différence de deux quantités indéfiniment croissantes ; et il n'y a pas lieu dédire que la limite du rapport ou de la différence est le rapport ou la différence des limites, puisque Ces limites n'existent pas, Mais si l'on fait cequclcs raisonnements ont prescrit, on n'éprouve aucune difficulté; et si l'un fait autre chose, à quelque contradiction ou absurdité qu'on arrive, ou n'a pas droit de s'en étonner.

Lejeitne-Dirichiet est, je crois, le premier qui ail public la remarque que divers groupement* des ternies positifs et négatifs d'une série peuvent donner des résultats différents pour les limites. Je pense que ceux qui voudront bien réfléchir un instant sur ce que nous venons de dire trouveront qu'on a attaché trop d'importance à la remarque de cet éminent géomètre.

246. Remarque sur les séries qui sont convergentes quand lotis leurs termes sont pris avec le même signe. — Soient deux séries convergentes, avant tous leurs termes positifs,

«,-t- Hj+Bj-H. ■ .+ u,+ . . .,

a8o SCIENCE DES NOMBRES. CHAPITRE XXX.

Désignons par S, S' les limites de leurs sommes, et par S,„ S„ les sommes des n premiers termes de chacune d'elles; et formons une troisième série dont le terme général soit

Jl est facile de voir que la somme <r„ des n premiers termes de cette nouvelle série sera plus petile que le produit des deux polynômes S„, S'„, et plus grande mie le produit de S, par & p , p désignant la moitié de n ou de H -f- i, suivant que n sera pair ou impair ; de sorte qu'on aura

<r.<S,S, et <r,>S,S^,

Or les deux produits S,, SJ,ci S„S' h ont la même limite SS'; donc tr„, qui est compris entre les deux, a aussi pour limite SS'.

247. Et l'on voit en même temps qu'il en serait de même si les deux séries n'avaient pas tous leurs termes positifs, pourvu qu'elles restassent convergentes en prenant tous leurs termes avec . le signe -f-.

Ru effet, si l'on forme la troisième série au moyen des deux séries telles qu'elles sont données, ff„contiendra tous les termes que donnerait la multiplication de S F par S',, et d'autres encore, dont nous allons montrer que la somme tend vers zéro. En effet, ai au lieu de les prendre avec leurs véritables signes on les prenait tous avec le signe -f-, leur

que l'on trouverait au lieu de ct„ et de S^S^, si l'on prenait tous les termes des deux séries proposi'es avec le signe -}-. Or cette différence a une limite nulle, puisqu'il vient d'être démontré que dans ce cas a„ et S P S^, ont la même limite. 11 en est donc de même dans II- cas des séries proposées.