CHAPITRE XXXI

DE LA FORME SINGULIÈRE SOUS LAQUELLE SE PRÉSENTE LA RASE DU SYSTEME DE LOGARITHMES DE NEPER ; SÉRIE QUI LA REPRÉSENTE. — DÉTERMINATION DE QUELQUES AUTRES EXPRESSIONS SINGULIÈRES.

2-i8. Nous avons montré précédemment que tous les nombres pouvaient fine runsidrirs roniinr Ifs puissances d'une base fixe, el nous avons nommé l'exposant de cette puissance le logarilhmc du nombre correspondant ; de sorte que dans la base a, la relation entre un nombre quelconque^ et son logarithme x, est

d'où l'on voit que si on prend des logarithmes en progression par différence, commençant par ïéro, les nombres correspondants formeront une progression par quotient, commençant par l'unité.

C'est cette dépendance que le premier inventeur a établie entre les nombres et leurs logarithmes, et non celle qu'exprime l'équation exponentielle (i). En partant do cette définition, il a démontré les théorèmes au moyen desquels les opérations sur les nombres sont ramenées à des opérations de degré inférieur sur leurs logarithmes, à la condition d'avoir construit une table qui fasse connaître le logarithme par le nombre, et le nombre par le logarithme.

De même que noire définition, représentée par l'équation (i), a conduit à la propriété qui a servi de définition

à Neper, il est facile réciproqu émeut de déduire la nôtre de celle-ci. Soient eu effet les deux progressions

Si l'on désigne \>*rjr et x les deux termes correspondants au rang quelconque marqué par le nombre m, on aura

et on aura la relation générale entre un nombre et son logarithme, en éliminant m entre ces deux équations ; ce qui donnera

sions puisse être utile aux calculs numériques, il faut que les nombres entiers auxquels ils se ramènent toujours, puissent être considérés comme faisant partie de la progression par quotient, sinon exactement, du moins avec une approximation suffisante. Il faut donc prendre pour a une valeur extrêmement petite, afin que les termes croisseut très-peu, et que tout nombre entier qui n'en ferait pus partie puisse, avec une très-faible erreur, être remplacé par l'un des deux termes entre lesquels il est compris.

Pour arriver à ce point, on peut imaginer qu'on parte de deux progressions déterminées, et qu'on insère un même nombre de moyens considérable entre les termes de l'une et de l'autre. Mais, saus nous arrêter aux divers procédés dont on peut faire usage, admettons que « et 3 soient des quantités aussi près de zéro que l'on voudra, l'équation (a) exprimera toujours la relation entre un nombre quelconque