CHAPITRE XXXI. S
et son logarithme. Et si l'on veut atteindre, au moins par la pensée, sinon par le calcul effectif, à la représentation exacte des nombres entiers, il faut se figurer qu'on fait décroître a et 3 indéfiniment, et que tout nombre entier soit la limite des deux termes qui le comprendront, pour chaque système de valeurs de a et 3,
La relation a établir entre ces deux variables est évidemment arbitraire, el Keper a choisi la plus simple : il a pris S — a. L'équation (a), dans celte hypothèse, devient
et pour avoir l'équation qui tend de plus en plus à exister entre les nombres et leurs logaritlunes, il faut chercher la
limite de (i + a)'. Si on la désigne par e, on aura dans le système de Nepcr, considéré à la limite où tous les nombres croissant d'une manière continue se trouveraient représentés, et auraient des logarithmes croissant aussi d'une manière continue, on aura entre tout nombre y et son logarithme x l'équation exponentielle
Il reste donc, pour connaître la base e du système do logarithmes de Keper, à déterminer la limite de la fonction (i -(- et)*, quand la variable a tend vers zéro ; et c'est de cette recherche que nous allons nous occuper.
249. Nous préviendrons d'abord une erreur très-grave, que l'on serait peut-être porté à commettre dans la recherche des limites de fonctions. On pourrait croire qu'il serait permis de partager la difficulté en cherchant d'abord la limite qu'elle aurait si l'on conservait une valeur constante à la variable dans certaines parties de l'expression;
et cherchant ensuite la limite correspondante à la variation dans les parties restées d'abord constantes. 11 n'est pas besoin de montrer par des exemples l'inexactitude d'un pareil procédé : il suffit de remarquer qu'on n'exécute pas ainsi ce qui est demandé, puisque la variable doit avoir la même valeur dans toutes les parties de l'expression; et dès lors on ne peut Être sur que le résultat n'en sera point altéré. Ce serait une chose à démontrer, quand cela est; et il y a
Dans la question actuelle, par exemple, oit serait conduit à un résultat inexact, en laissant l'exposant 1 constant, et faisant tendre a. vers zéro dans (t + st}- En faisant ainsi, et élevant à la puissance - la limite de 1 + œ, ou i, on aurait 1*. Or toute puissance de 1 étant 1, i" resterait toujours égal à l'unîté quand on ferait tendre a vers zéro, et
la limite de (i + a)" ainsi cherchée serait l'unité, ce qui est, comme nous allons le voir, contraire à la vérité.
250. Pour trouver la limite de (i-J-sc)*, nous supposons d'abord (comme le fait M. Caucby dans son Cours d'Analyse algébrique) que la variable a, qui a pour limite léro, soit égale à l'unité divisée par un nombre entier m, indéfiniment croissant j el l'expression en question deviendra
Or ni étant un nombre entier positif, 011 pourra développer cette puissance d'après la formule du binôme, cl l'on
L'i i I zrj t, C
ciiapithb xxxi. a83
On reconnaît déjà celle propriété remarquable de l'expression 4- ^ > c'est qu'elle augmente constamment
avec m. En effet, tous les termes d» développement sont positifs; un lerme de rang déterminé quelconque augmente avec m puisque son dénominateur est constant, et que les facteurs de son numérateur augmentent; et enGn il s'introduit de nouveaux termes, puisque leur nombre est m+i.
On remarquera ensuite que tous ces termes sont inférieurs à ceux de la série suivante, qui en sont les limites respectives,
i 5 > ' + i + 7^ + rï:3 H -'-
On reconnaît facilement, parla règle établie ci-dessus, que cette série est très-rapidement convergente, et que sa limite est comprise entre a et 3. Mais il s'agit de démontrer que cette limite est celle de -f- — J •
En efl'et, supposons m assez, grand pour que les n premiers termes de (4) soient assez voisins des correspondants de (5) pour que les deux sommes diffèrent aussi peu qu'on voudra. La seconde de ces deux sommes différant de la limite de (5) d'une quantité qui peut être supposée moindre que toute quantité désignée, il en sera donc de
même de la première, et à plus forte raison de ■+■ — ^ j qui, étant plus grand, est plus rapproché encore delà limite . de (5), qui lui est toujours supérieure. La différence entre
a86 sciekcb osa nombres.
(* + Si) 61 '* '■ ln ' le ^ e (^)> 9 ui esl unc t r uant ' Ie *"xc, pouvant devenir et rester moindre que toute quantité donnée, l'expression ^l-j- ~j a donc pour limite celle de la série (5).
Ce résultat remarquable est du à Euler.
âoh On pourrait, il est vrai, se demander si l'on trouverait la même limite pour + * s ' I** 3 valeurs croissantes de m n'étaient pas entières, mais composées d'utl nombre enliér augmenté d'une quantité quelconque plus peLile que l'unité. C'est ce qu'on peut établir facilement.
Soient, en effet, «tiu + i les deux nombres entiers entre lesquels m est compris, on aura
en désignant pare un nombre positif plus petit que l'unité. Or il esl facile de yoir que +^ 8er * plu* P* 1 " tj™
+ et plusgrand que + ^-yj'', expressions
qui peuvent se mettre respectivement sous les formes sui-
Et comme les facteurs n--et H-—^— -ont pour limite i, les deux expressions ont les mômes limites que + ^j''
cHàpithk xxxi. 187
et ^1 -\ ~y J j qui rentrent dans l'expression (1); on
relrouve donc encore la limite de là série (5);
252. Nous pourrions nous borner là si nous ne voulions traiter que la question actuelle, où a est positif. Mais comme il y a des ras où il est négatif, en entendant toujours qu'on le traite de la manière précédent m élit expliquée, il est nécessaire d'examiner cette hypothèse pour avoir un résultat entièrement général.
Or, si a est négatif et tend vers zéro, 1 -f- et est plus petit que 1 et tend ver» 1 . Si donc on pose
S sera positif et tendra vers zéro. Ou tire de la
et
1 , + *)"=(tTï)~ ~ r = {' + *r' = + + «).
expression dont la limite est la mime encore que dans les cas précédents.
On peut donc énoncer cette proposition :
De quelque manière que la variable a lcnde vers zéro, qu'elle soit positive ou négative, continue ou discontinue,
l'expression (1 + a) K tendra vers une même limite, qui est celle de la somme de la série
On désigne ordinairement cette limite par la lettre e; sa
présentent sont 7,7182818^8 C'ett là la hase du système de Neper; mais il ne l'a pas choisie : elle s'est trouvée conséquence de la supposition qu'il a voulu faire, d'un accroissement égal du premier au second terme de ses deux progressions.
233. Remarque. — Si au lieu île chercher la limile de (i + a) a on cherchait celle de (1 -\-ax)', on aurait + ™ ^i*: (3)i « l a « <M4) 01, aurait les mêmes termes multipliés parles puissances a, t , a,... de x. On aurait donc pour limile de ^1 -f- la série si
n pvouveraitde même que, quel que soit le signe de ce ura, pour toute valeur de x,
formule qui est encore duc à Eulcr, ainsi ijue les suivantes qui s'en déduisent.
Mais
0 ai lend vers séro, (1 -t- «)" a pour limile c.
Donc (6)
ChlAI'lTRE XXXI. u8l)
El si au lieu Je C on voulait développer a' en série, n désignant un nombre positif quelconque, ou remplacerait a par [■'", l désignant les logaiilbmes dans la base de iN'eper; ou aurait ainsi
ut comme la formule (6) a lieu quel que soit x, un aura, eu y remplaçant x par xla,
QUELQUES EXPIIESSIOKS SINC-ELIEHES QVI 5E I1A IlLfl EST A LA PRECEDENTE.
2ol. ï.a limite de (i + a)* qui se présenterait sons la forme insignifiante de i* , si l'on mettait au lieu de la variable s sa limite /.éro T conduit facilement à la connaissance
d'autres formes singulières, si Ion substituait aux variables don I elles dépendent les limites vers lesquelles elles tendent. Soit proposé, par exemple, de trouver la limite de la
fouclion — ~, lorsque a tend vers téro. Si l'on mettait dans celle fonction, au lieu de a, sa limite, ou trouverait la forme singulière-, qui n'apprendrait rien; de sorte qu'il faut prendre une autre voie pour obtenir la limite clicr-
Pour cela nous transformerons celte fonction de a par un changement de variable, et nous poserons
a"— 1~6 ou n' J — i-.-G,
elle deviendra ainsi -i et 6 tendra vers zéro; mais il fau- '9
Ira tenir compte de la relation entre a et S, sans quoi l'expression - ne serait pas déterminée, Cette relation donne
L'expression proposée en a se transforme donc dans la suivante en 6,
Slogfl loga log(.+fi)- l*
etla limite de celle expression est évidemment ou la en prenant les logarithmes dans la base de fteper.
Et il sera bon de se rappeler que si c désigne une variable quelconque tendant vers zéro, le logarithme népérien de
(i-}- t)' tendra ver» l'unité; et, comme ce logarithme est iililljon pourra toujours, dans les recherches des limites, supprimer tes faneurs de la forme -i 1 ^" 1 ) , parce qu'ils ne donneraient que des facteurs égaux a l'unité, dans la limite.
