Deux triangles sont Égaux quand ils ont les trois
Soienl les deux triangles ABC, A'B'C (fig. i5 et 16), dans lesquels on a
BC = B'C, AB == A'B', AC:-rA'C.
Transportons le triangle A'B'C sur l'autre, de manière que B'C coïncide avec BC; il faut démontrer que le point A'
Fi E . li et 16.
ne peut tomber autre part qu'en A, c'est-à-dire qu'il ne peut y avoir, d'un même coté de la ligne BC, deux points qui, joints aux deux mêmes points BC, donnent des longueurs égales chacune à chacune. Pour cela, supposons que A' ne tombe pas sur A, il sera dans l'un des quatre angles formés par les côtés AB, AC et leurs prolongements. Soil I) ce point { fig. 17 et 18); joignons A et D par une droite.
Puisqu'on aura, d'après l'hypothèse,
AB — DB et AC CD,
CHAPITliE PIIEMIBB. 33 I
les deux triangles BAD, CAD seront isocèles, et dans chacun d'eux les angles opposés sus ràtés égaux seront égaux.
Fi B . x^ cl itJ.
ainsi que leurs suppléments : on aura donc BAD^BDA et DAE — IDA.
Or, ces deux égalités sont incompatibles, puisque l'on a évidemment
BAD > DAE.
tandis que l'égal de BAD ou BDA est plus petit que IDA, qui est égal à DAE.
L'hypothèse d'où l'on est parti est donc fausse, et le point A' ne peut tomber qu'en A : ce qui prouve que les deux triangles AliC, A'B'C sont égaux.
303. Si l'on prolonge un côte d'un triangle, l'angle extérieur sera plus grand que clmcun des angles intérieurs opposés.
11 faudrait reproduire ici la démonstration d'F.uclide que nous avons fait connaître précédemment. Et il en serait de même des suivantes, que nous nous contenterons d'indiquer, mais que nous devons mentionner pour que l'enchaînement des propositions soit marqué :
301. La somme de deux angles quelconques d'un triangle est moindre que deux droits.
33a sciehc^ de l'étendue.
305. Si deux côtés d'un triangle sont inégaux, au plus grand sera opposé le plus grand angle.
306. Si deux angles d'un triangle sont inégaux, au plus grand sera opposé le plus grand côté.
307. Dans tout triangle, un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.
Un corollaire immédiat de celle dernière proposition est que la ligne droite qui joint deux points est plus courte que
Soient, eu effet, les deux points A, B, la droite AB et la
Fis. '9-
ligne brisée BCDEA {Jig. 19) ; on aura les inégalités sui-
AB<BC-)-AC, AC<CD+DA, DA<DE-t-EA;
d'où résulte évidemment
AB < BC -t- CD -1- DE -4- EA.
Ainsi, la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre, eu ne considérant que des roules composées de lignes droites, en nombre quelconque, et de grandeurs quelconques.
308. Et Je là se conclurait cette autre proposition, que si d'un point A à un point B on conçoit dans un infime plan une ligue brisée ACDEFB composée d'un nombre quelconque de côlés rectilignes tels, qu'un quelconque
d'entre tas prolongé ne pénètre pas dans l'intérieur du polygone formé par celle ligne brisée et AB, la somme, des côtés composant cette ligue brisée sera moindre que celle des côtés de toute autre ligne brisée AMJVPQRIJ [fig. ao),
terminée aux mêmes extrémités A et B, et située complètement en dehors du polygone ACDEFB.
La démonstration se fera en prolongeant d'abord le côlé AO jusqu'à ce qu'il rencontre en X la ligne enveloppante. Remplaçant dans celle-ci par AX le contour AM!\X, on aura diminué la ligne enveloppante totale. On diminuera encore le contour total ainsi obtenu, en prolongeant CD, puis DE; et, en continuant ainsi, ou arrivera à la ligne brisée, qui sera, par ennsi'quenl, plus petite que AMiNPQRH.
Euelide n'a démontré celte proposition que dans le cas où les deus lignes brisées, enveloppée et enveloppant!', sont composées de deux côtés seulement.
309. Si lieux triangles ont deux cotés égaux chacun à chacun et que l'angle compris entre ces côtés ne soit pas le même, le troisième coté opposé au plus grand angle sera le plus grand.
On suivra encore les démonstrations d'Euclide.
310. D'un point hors d'une droite indéfinie on rte peut abaisser qu'une seule perpendiculaire, sur cette droite.
Cette perpendiculaire est plus courte ijue toute oblique menât; du même point à la même droite.
Soit AU la droile indéfinie (fig. ai}, C le point extérieur, CD une perpendiculaire sur AB.
Fi,. «.
Par le point C menons une autre ligne terminée en un point quelconque E de AB; je dis que CE ne sera pas perpendiculaire sur AB, et qu'elle sera plus grande que CD.
En effet, puisque dans loul triangle la somme de deux angles est plus peli le que deux droits, et que dans le triangle CDE l'angle D est droit, l'angle CDE sera plus petit qu'un droit. Donc, d'abord, la ligne CE n'est pas perpendiculaire « AB ; en second Heu, elle est plus grande que le coté CD du triangle, puisqu'elle est opposée à un plus grand angle. Donc, d'un point on ne peut abaisser qu'une seule perpendiculaire sur une droile ; et elle est la plus courte droite qui puisse Être menée de ce point à celte ligne.
3H. Deux obliques menées d'un même point à deujr points de la ligne indéfinie, êtfuidistants du pied de la perpendiculaire, sont égales.
Car ces obliques sont les hypoténuses de triangles rectangles égaux.
312. De deux obliques partant d'un même point, celle dont l'extrémité est la plus éloignée du pied de la perpendiculaire est la plus grande.
Si elles n'élaicnl pas du même coté de la perpendicu-
lajre, on pourrait prendre du côté de l'une des obliques uu point dont la distance au pied de la perpendiculaire serait la même que pour le pied (ic l'oblique qui est de l'autre côté. On aurait ainsi une oblique égale à cette dernière et du même côté que la première.
Cela posé, soient AB la perpendiculaire et AC, AD deux obliques situées d'un même côté (fig. aa). Nous avons fail voir que l'angle ACB était aigu, ainsi que ADB. L'angle
Fie- ».
ACD est donc plus grand que ADC, et, par conséquent, dans le triangle ACD on a AD> AC; ce qu'il fallait démontrer.
Tout point de la perpendiculaire, élevée sur le milieu d'une droite, est également distant de ses deux extrémités.
Les réciproques de ces diverses propositions se démontreraient facilement, cl devraient Tare développées dans un cours régulier.
