DES PARALLÈLES

313. Lorsque deux lignes indéfinies sont coupées par une troisième, de telle sorte que la somme des angles intérieurs d'un même câté de la sécante soit égale à deux droits, ou, ce qui est la même condition, que les angles alternes ou correspondants soient égaux, ces deux lignes sont parallèles.

Soient AB, CD les deux droites, EF la sécante et AEF=EFD tfig.ri).

336 science de l'étendue.

Si ces lignes n'étaient pas parallèles, étant dans un même plan, elles se rencontreraient. Soil H leur point de rencontre; l'angle AEF extérieur au triangle devrait être plus grand que l'angle intérieur EFH : or, il lui est supposé égal.

Fi B . ,i.

Il y aurait donc contradiction : les deux droites ne peuvent donc se rencontrer.

Dans le cas particulier où les angles AEE, EFD seraient droits, c'est-à-dire où la sécante serait perpendiculaire aux deux droites, la proposition s'énoncerait ainsi -.Deux droites perpendiculaires sur une même droite ne peuvent se rencontrer; d'où résulterait cette proposition que nous avons déjà démontrée, que d'un point ou ne peut abaisser deux perpendiculaires sur une raùmc droite. Euclide l'a regardée comme implicitement renfermée dans la proposition générale.

314. Postulatwnd' Euclide. — Soient cleuxdroi tes indélinies Ali, CI) qui, coupées par une troisième FF, font avec elles d'un même coté deux ongles intérieurs dont la somme est différente de deux droits [fig. a4) ; ai, par le point K,

Fia-

on mène une dr oite EU telle, que la somme des deux angle*

CUNTU PHBMIEA, 33?

intérieurs soit égale à deux droils, il vient d'Être démontre que celte ligne sera parallèle à FD. Or, Euclide demande qu'on accorde comme évident (joc la ligne AU, différente du EH, rencontrera la droite Ali; ou, en d'autres termes, que, par un point E. hors d'une droite CD, il ne peut y avoir qu'une seule ligne parallèle à CD.

Quant au point de rencontre de Ali et CD, il est clair qu'il ne peut Être que du cùlé où Alî se trouve entre les deux parallèles, c'cst-à-dirc du cùlé où la somme des angles intérieurs cal moindre que deux droits.

C'est en cela que consiste le célèbre postu/atum de ce grand géomètre, et jusqu'ici on n'a encore trouvé aucun moyen rigoureux de s'en passer.

Rien n'est plus facile, en l'admettant, que d'élablir la proposition suivante, d'où découle tonte la théorie des parallèles.

315. Si lieux parallèles sont coupées par une droite. In somme des angles intérieurs sera égale h deux droits.

Celte réciproque du premier théorème résulte immédiatement du postulat uni. Car, si celle pi un me était différente de deux droils, les deux lignes se rencontreraient; ce qui est contre 1" hypothèse.

Nous ne donnerons pas le détail de toutes les conséquences de ces propositions; elles ne peuvent offrir aucune difficulté, même pour l'ordre dans lequel elles devront èlre présentées. Nous regarderons donc comme démontrées les propositions relatives aux angles et aux cotés des parallélogrammes, obliques ou rectangles, ainsi qu'à leurs diagonales; aux angles qui ont les cùlés parallèles ou perpendiculaires, etc.

316. Dans tout triangle, la somma des trois angles est égala à deux angles droits.

338 SCtEHCE de l'étendue.

Soit le triangle quelconque ABC (Jîg. u5) ; prolongeons l'un de ses cotés, liC par exemple ; dans l'angle extérieur ACD, qui est plus grand que l'angle intérieur A1IC, on pourra tirer une ligne CE qui fasse l'angle ECD = AlîC;

tic. î5.

cetir ligue sera parallèle à RA,et, par conséquent, Ici angles IIAC, \C\: mthiii égaux nimnir allei nes-intei nés. [.es trois angles du triangle seront cjtmc respectivement égaux aux truis an^lii formé» d'un rtirnie ri'.lé de ISD par les lignes C\ CI' : km somme d mi' égale .i deu\

Et l'angle extérieur est égal à la somme des deux intérieurs opposés.

Corollaire I. — Tout polygone pouvant être partagé par des diagonales en autant de triangles qu'il a <Ic côtés moins deux, et la somme des angles de tous ces triangles formant précisément la somme de eeux du poljgone, cette dernière sera égale à deux droits répétés autant de fois que le polygone a de côtés moins deux.

Corollaire II.— Si l'on prolonge tous les côtés d'un polygone quelconque en tournant toujours dans le même sens, les angles extérieurs ajoutés :'i ceux du polygone formeront autant de fois deux droits qu'il a de sommets ou de côtés. La somme de ces angles extérieurs est donc égale à quatre angles droits.

317. Ilemari/ue. — Nous avons cru devoir donner avec beaucoup de détail les propositions précédentes, dont l'enchaînement était essentiel à bien indiquer. Maintenant que