CHAPITRE PREMIER
ces premières bases sont bien établies, nous ne nous assujettirons pas à démontrer ni môme à mentionner tous les théorèmes que doit renfermer un Traité élémentaire de Géométrie, Nous ne nous attacherons particulièrement qu'à ce qu'il y a de générai dans les théories, et à l'étude des méthodes employéi s à lit résolution des questions; et nous ferons ressortir autant que possible l'application de ce qui a été dit de général à cet égard dans la première Partie de cet ouvrage.
318. Dans les propositions précédentes, nous n'avons considéré qui» des points et des droites dans un même plan. Dans les suivantes, il y aura une considération de plus, celle du cercle, c'est-à-dire de la ligue plane dont tous les points sont à une dislance égale d'un même point situé dans son plan. Cette ligne ne peut être ni droite, ,ni composée de lignes droites, puisqu'il est démontré que les dislauri's d'un uiétm- jioitu aux ilid'én'nls poiuij d'uni? droite vont en augmentant à mesure que ces points s'éloignent du pied de la perpendiculaire abaissée du point donné sur celle droite. Le cercle, ou le lieu des points également dis-
s dans un tnèrae plan, ne peut
donc être que ce que nous a>
<ons appelé une courbe : c'est
la plus simple de toutes, la si
iule dont on s'occupe dans les
premiers éléments. Quelque
s auteurs appellent cercle la
parlie du plan interceptée pai
circonférence. Nous croyon;
> plus convenable de ne pas
faire cette distinction : et quand nous voudrons parler de la surface comprise dans le cercle, nous le dirons expressément.
La combinaison de la ligne droite et du cercle donne Heu à un nombre indéfini de propositions, dont il est à propos de faire connaître ici les plus simples, celles qui se
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retrouvent à chaque instant, et se présentent d'ailleurs si naturellement à l'esprit, que la démonstration n'en parait nécessaire qu'à ceux qui ont déjà l'habitude du raisonnement et de la rigueur. Nous ne donnerons aucun développement à ces propositions, qui sont traitées à peu près de la même manière par tous les auteurs qui oui imité Euclidc; nous nous contenterons d'indiquer brièvement en
On voit d'abord que les positions relatives d'une droite et d'un cercle donnent lieu à trois cas distincts. Si la perpendiculaire abaissée du centre sur la droite est plus grande que le rayon, tous les points de la droite sont en dehors du cercle, puisque leur distance au centre es) plus grande que la pi'rjii'iidit'ulidre ejni est déjà |>lus grande que le rayon. Si cclti: jii'rpr'ndirul.iiir est é^ale au rayon, son pied appartient au cercle; mais tous les autres points de la droite sont en dehors, parce que leur distance au centre est plus grande que le rayon, qui est la perpendiculaire. La droite qui n'a ainsi qu'un point commun avec le cercle, est dite tangente.
Enfin, si la perpendiculaire est plus petile que le rayon, son pied est dans l'intérieur du cercle, et la droite prolongée dans les deux sens rencontrera le cercle en deux points au moins : elle est dite sécante.
Nous disons qu'elle coupe au moins en deux points le cercle. Cela résulte d'un de nos axiomes; mais il est bon de reconnaître qu'elle ne peut le couper en plus de deux points. ,Car s'il y avait trois points communs à un cercle et à une ligne droite, leurs distances au centre seraient égales; or les propositions démontrées sur les perpendiculaires et les obliques, prouvent que d'un point à une droite il ne peut y avoir trois longueurs égales.
La seule inspection d'un cercle donne l'idée des propositions suivantes.
