Inscrire un cercle dans un triangle

La question est de déterminer le centre et le rayon d'un cercle qui soit tangent aux trois côtés d'un triangle donné. Comme on sait que la perpendiculaire abaissée du

36a SCIKNCB DE l'étendue.

centre d'un cercle sur une quelconque de ses tangentes, est égale au rayon, on voit de suite que le centre du cercle demandé doit être également distant des trois cotés du triangle; que, par conséquent, la détermination de le point est ramenée, et avec réciprocité, n un autre problème dont l'énoncé général serait :

Trouvai- un point également distant de fro;'.f droite* données.

Pour résoudre ce dernier problème, on se rappellera que tous les points de la bissectrice d'un angle sont, également distants de ses deux côtés, et sont les seuls à jouir de cette propriété. Il suit de là que le point équi dis tant de trois droites, devant être équidislant de deux quelconques d'entre elles, doit être un de ceux de la bissectrice d'un quelconque desangles que ces droites forment deux à deux; et dans le cas proposé, ces angles sont ceux qui appartiennent au triangle que forment ces trois droites. Le point cherché, s'il existe, doit donc se trouver sur les trois bissectrices; et réciproquement, si ces bissectrices ont un point commun, il satisfera. Or, deux de ces bissectrices suffisent, et leur point de rencontre sera sur la troisième. Le problème est donc ramené à partager des angles en deux parties égales ; ce que l'on naît faire.

316. Décrire .sur une droitr donnée un segment capable d'un angle donné.

On sait que tous les angles inscrits dans un même segment sont égaux entre eux, et à l'angle formé par la corde qui lui sert de base avec la tangente à l'une quelconque de ses extrémités. Celte base et la valeurde l'angle inscrit sont données ; il s'agit de décrire le cercle.

Or, d'après ce qui vient d'ètie rappelé, si le cercle cherché était construit, et qu'on lui menât une tangente à une des extrémités de la base, elle ferait avec cette base un angle

CBuri-nc m. 363 égal à l'angle donné; si donc on trace une droite faisant avec la base donnée, et à l'une "de ses extrémités, mi angle

vite. I,e problème est ilnn.' ramené au suivant :

Déterminer un cercle dont on tonnait deux points et la tangente en un de ces points.

Et la réciprocité s'aperçoit facilement.

Pour résoudre celui-ci, il suffit de remarquer que la ligne qui joint le centre au point de contact étant perpendiculaire à la langemc, si on élève au point de contact donné une perpendiculaire à la tangente donnée, elle passera par le centre du cercle. On aura une seconde ligne passant par ce centre, en élevant une perpendiculaire au milieu de la droite qui joint les deux points donnés.

La détermina ti on du centre est donc ramenée à des constructions qu'on sait exécuter, et, par conséquent, le problème proposé est résolu.

Par un point C, commun à deux cercles dont les centres sont A et B, mener une droite telle, que la partie comprise entre les deux ceivles soit égale à une longueur donnée.

Soit MN la ligne qui résout la question [fig. 29).

Si des deux centres on abaisse des perpendiculaires

Fin- =B-

•or MN, elles seront parallèles et passeront par les milieux P, Q des cordes MC, NC. La distance PQ de ces deux

i64 sciescB DK l ét,:« me .

parallèles sera donc égale h la moitié de la longueur donnée, et par conséquent connue. Le problème est donc ramené au suivant :

Par deux points donnés A, B, mener deux parallèles dont la distance mutuelle est donnée.

Et l'on reconnaît immédiatement que la réciprocité

Pour résoudre celui-ci, on remarquera que si tes parallèles étaient tracées, et que de l'un de ces points, B par exemple, on leur menât une perpendiculaire, la partie comprise BR serait égale à la distance donnée, et par conséquent le triangle ARB serait rectangle, et on connaîtrait l'hypoténuse AU et un côté BR. Si l'on construisait ce triangle, on connaîtrait la direction AR; et comme MN lui est perpendiculaire, il suffirait d'abaisser de C une perpendiculaire sur uue droite dounêe, ce que l'on sait faire. On voii doue que le second problème, et par conséquent le premier, se ramène à celui-ci :

Construire un triangle rectangle dont l'hy poténuse AB est donnée, ainsi que la longueur d'un second côté.

Pour résoudre ce nouveau problème, il suffit de remarquer que le sommet de l'angle droit de ce triangle ne peut être que sur le cercle décrit sur l'hypoténuse AB comme diamètre ; on pourra décrire ce cercle, puisque son centre sera le milieu de AB, qu'on sait trouver. Et comme ce sommet doit se trouver à une distance connue de B, il suffira de décrire un cercle de B comme centre, avec cette distance pour rayon : le point où il rencontrera le premier sera le sommet cherché R, et la construction s'achèvera, comme nous l'avons dit, en joiguant AR par une ligne indéfinie, et abaissant de C une perpendiculaire sur celle ligne.