CHAPITRE III

Soient A, B les centres des deux cercles, et pour fixer les idées, supposons qu'ils soient entièrement extérieurs l'un à l-nu. 0%. 3o).

Soient M, N tes points de contact de la tangente commune, qui laisse les deux cercles d'un mime côté. Les

FIE. ,1o.

rayons AM, BN perpendiculaires à une même droite, seront prallèles; et si l'on mène BP parallèle à MN, le triangle ABP sera rectangle eu P, et l'on en connaîtra l'hypoténuse AB et le coté AP qui est égal à la différence des rayons des deux cercles.

Et réciproquement, si l'on construisait un triangle sous ces conditions, AP prolongé ferait connaître sur le cercle A un point M tel, qu'en y menant la tangente à ce cercle, elle serait tangente à l'autre. Le problème est donc encore ramené à la construction d'un triangle rectangle, dont on connaît l'hypoténuse et un autre côté, ce que l'on sait faire.

Si l'on voulait que la tangente passât entre les deux cercles, on aurait serablableraent à construire un triangle rectangle dont l'hypoténuse serait AB, et un autre côté la somme au lieu de la différence des rayons.

Il est inutile de faire remarquer qu'il y a deux autres tangentes communes, symétriques des deux premières par rapport à la ligne des centres.

348. Construire un carré, connaissant la différence de la diagonale au côté.

366 SCI ESC» DE î.'êïEMU'K.

Soil ABCD ce carré; AE !a différence donnée (fig. Si); CE sera égal au tôlé, cl le tria agit! < !KB ser;> isocèle. Mai» si l'on prolonge BE jusqu'à sa rencontra en F avec le côté AD, les angles du triangle AFP seront respectivement

Fig. 3i.

égaux à ceux du triangle CEli ; et! triangle AKF sera donc isocèle, et l'on aura AF = Ali.

On peut donc connaître lr point. F du narré cherché, d'où résultera Aa conslruolion même de ce carré.

F,n effet, ayant tracé la ligne AE égale à la différence donnée, on mènera ilnuy lipu-s imléliuic- \M, AN, faisant avec AE des angles égaux à la moitié d'un dmil : sur AN on prendra AF = AF.; on mènera la droite indéfinie FE, et le point B où ollc rencontrera AM donnera le côté Ali du carré, qu'on achèvera en menant BC perpendiculaire sur AB, et CD sur AN.

Mais comme nous avons omis de démontrer la réciprocité, il faut actuellement prouver que la ligure construite d'après la condition Al ' = AE satisfait ans coud i lions proposées, lï'ahord cette figure est un carré, puisque l'angle AB a été pris égal à un demi-droit: de plus, les angles du triangle CEB étant égaux à ceux du triangle isocèle AKF, le premier sera aussi isocèle, et l'on aura CE = CB. Donc la- ligue donnée EA sera, comme il le fallait, la différence de la diagonale au rblé du carré. ■ ■

eu autre in.

RÉFLEXIONS SUR LA MAHCFIE AKALTT1QUE SUIVIE HANS LA RÊSOLUTIOH DES PROBLÈMES FRECKDEHTS.

319. Les problèmes que nous avons résalua ne supposent qui;, la connaissant! des premières propositions (le la Géométrie; mais nous avons voulu nous occuper de ce genre de questions aussitôt que nous avons été en possession de moyens suffisants pour eu résoudre un assez grand nombre, dans des conditions as.se/, variées. Nous nous sommes borné à quelques-uns seulement, parce que nous ne veinions que montrer dans quel esprit un cours doit être

Dans un cours régulier, il faudrait beaucoup les multiplier; mais ce qui est le plus essentiel, c'est de frire chercher les problèmes par les élèves, et non de leur en donner immédiatement la solution. On ne s'assimile les méthodes qu'en les appliquant soi-même, et non en apprenant comment les autres les oul appliquées.

Dans les solutions que nous avons données, uous avons suivi la méthode analytique; eu les lisant, il semble qu'on assiste à la découverte progressive de l'inventeur, et même qu'il n'a eu successivement que les idées qu'on aurait crues soi-même, si l'on s'éliiil propi>ïë la question.

Celte méthode consiste, comme nous l'avons dit en général, à partir du problème proposé, et le ramener à un autre; puis à ramener celui-ci à uu nouveau, jusqu'à ce que l'on parvienne à un problème que l'on sache résoudre Mais chacun des problèmes que l'on substitue ainsi à celui qui !c précède, peut lui être lié de deux manières très-différentes. Les conditions qui lui sont imposées peuvent Être des conséquences de celles- du précédent, ou au contraire entraîner celles-ci comme conséquences. Souvent il y a ré*

368 SCIENCE DE L'ÉTENDUE

ciprocilé entre tes unes f-l les autres; et alors lee deux problèmes, quoique différents l'un (te l'autre, conduisent exactement aux mêmes solutions. Quand celte réciprocité n'a pas lieu, nous avons fait voir, dans l'exposition générale, qu'il pouvait y avoir dans le premier tas des solutions étrangères, et dans le second des solutions perdues.

Il y a doue deux marches analytiques pour la solution des problèmes; l'une procède par déduction, l'autre par réduction; mais dans l'un cl l'autre cas, il peut se faire qu'il y ait réciprocité entre les conditions de deux problèmes successifs, et il est essentiel de s'en assurer. Si elle a lieu, les solutions sont identiques : sinon, on sait quelle discussion il est nécessaire de faire.

La déduction est ordinairement plus commode que ta réduction; et si l'on ne veut pas faire de discussion à chaque transformation de ta question, et qu'on arrive à un problème connu sans qu'aucun des intermédiaires ait été obtenu par réduction, il n'y a autre chose à foire qu'à reconnaître s'il y a des solutions étrangères, c'est-à-dire à s'assurer si toutes tes solutions du dernier problème satisfont au premier. Mais si quelques-uns des problèmes ont été obtenus par réduction, et quelques autres par déduction, il peut y avoir des solutions perdues en même temps que des solutions étrangères; le hasard peut même faire qu'il y ait compensation.

Dans la solution des problèmes précédents, nous sommes parti delà construction demandée, supposée faite, et nous

veaux problèmes; mais nous avons eu soin de démontrer la réciprocité de chacun avec le précédent, et par conséquent la solution fournie par le dernier était identique avec la solution demandée du premier. Il faut toutefois excepter le dernier de nos problèmes, où nous avons remis à la fin la démonstration obligée de la réciprocité.

350. Une fois la solution trouvée par l'analyse, on exécute lu construction en partant de la dernière à laquelle on a élé ramené; c'est-à-dire qu'on procède par une marche invene de celle qui a été suivie pour découvrir. Kl cette même marche peut être suivie pour l'exposition théorique de la solution, qui se fait alors synibéliquement au lieu de se faire analytiquciuent.

Cette marche est presque toujours suivie par les auteurs de Traités élémentaires. Elle est plus difficile que celle qui a été suivie pour découvrir; et dans tous les cas elle exige que l'on démontre qu'il n'y a pas d'autre solution que celle que l'on énonce. Dans le dernier des problèmes précédents nous avons été obligé de démontrer que la construction que nous indiquions satisfaisait; mais nousy avions étéconduil analytiquemcnl, et ce n'est que parce que la réciprocité n'avait pas été démontrée, qu'il a fallu prouver que ce qui était reconnu nécessaire était aussi suffisant. La solution synthétique de ce problème, celle que certainement Legendre aurait adoptée, aurait été conçue en ces termes : Faites de part ctd'autre de EA deux angles égaux à la moitié d'un droit, prend AF = AE; tires la droite FE jusqu'à sa rencontre avec AM en B : A B sera le côté du carré cherché. En cflet

Or ce n'est pas ainsi que nous avous procédé; et en partant de la figure telle qu'elle doit être, nous avons démon tré qu'en joignant le sommet B du carré cherché au point E et prolongeant BE, on aurait