DE QUELQUES MÉTHODES POU» LA RÉSOLUTION DES PROBLÈMES

3o1 . Méthode drs lieux grimiutriquiiS. — lîcailcoup de problèmes de Géométrie, on punirait presque dire Ions, se ramènent à la déicrmi nation d'un ou plusieurs points.

Si l'on en considère un en particulier, sa position résulte

viendrait indéterminé, et le point en question serait, en général, susceptible d'une inlinilé de positions, se surcédant d'une manière continue, et formant ce que l'on appelle un lieu gcoirtéirùjue.

Supposons, par exemple, qu'une ligne désignée de la construction, doive avoir une longueur donnée, et qu'on cherche la position d'un certain point, de telle manière que celle condition soit satisfaite, conjointement avec certaines autres. S), au lieu de s'assujettir à celle condition, on laisse arbitraire la longueur de celle ligne, on trouvera pour solution tous les points qui correspondraient aux dillërentes longueurs que l'on pourrait donner à cette ligne ; cl, si l'on fait varier cette longueur d'une manière continue, la position correspondante du point cherché se déplacera d'une manière continue, cl l'ensemble de cea solutions former.! une ligne continue.

Et il en serait de même, en général, par la suppression de toute autre espèce de conditions, dans une question où il j a une position déterminée pour le point cherché, quand on lient compte de toutes les conditions.

Cela posé, si l'on cherche le lieu de tous les poinls qui satisferaient à la question dont ou supprimerait une condition, le point cherché ne pourra pas se trouver hors de

ce lieu. Si maintenant on reprend la condition négligée, et qu'on en supprime une autre, le lieu de tous les points qui satisferont à la nouvelle question, devra encore renfermer le point cherche. Ce point devant être sur les deux lieux, ne peut être qu'un de leurs points d'intersection : et réciproquement , tout point commun aux deux lieux satisfera à toutes les conditions de la question. On aura donc ainsi la solution complète du problème, et sans solutions étrangères. Et il est évident que cette méthode est analytique, puisqu'elle ramène une question à d'autres questions.

332. Remarques. -— Si les lieux n'avaient pas été construits complètement, on pourrait avoirdes solutions perdues. Il en serait de même encore si l'on introduisait dans l'un ou l'autre des conditions en dehors de la question. Mai» il est sûr qu'on n'introduit pas ainsi de solution étrangère, et que tout point commun aux deux lieux, satisfaisant à toutes les conditions du problème, en est nécessairement une solution.

353. Méthode des systèmes semblables. — Il est quelquefois plus facile de construire tin système semblable à celui qu'on cherche, que ce système lui-même ; on est moins assujetti, puisqu'on peut choisir comme il conviendra la longueur d'une ligne qui était primitivement imposée. Si l'on peut résoudre le nouveau problème, le proposé sera ramené au suivant : Construire un système semblable à un système donné, connaissant la longueur- d'une ligne homologue il l'une de celles du premier. Or celle construction n'offre aucune difficulté.

354. Méthode de renversement. — Dans tout problème graphique, i et on propose d'ei

3ja science db l'étendue.

laine manière h celles-ci. Or, il arrive souvent que les choses à construire peuvent être exécutées isolément des premières, et que la seule difficulté consiste a leur donner la position qu'elles doivent avoir relativement à cellesci. Dans tous les cas de ce genre, il y a deux marches à suivre. Ou peut partir des constructions données, et opérer sur elles jusqu'à ce que l'on ait obtenu celles que l'on demandait, et alors le problème est résolu; ou bien commencer par construira les choses qui doivent avoir les rapports demandés avec les données, et, d'après ces mêmes , rapports, construire sur elles ces données : il en résultera un système identique avec celui que l'on cherchait, puisque les données et les résultats y seront liés de la manière demandée; il ne restera donc plus qu'à en reporter les diverses parties au lieu où l'on avait .voulu que la construction fût exécutée.

Il peut se faire que le système auxiliaire ne soit pas identique avec celui que l'on cherche, et lui soit seulement semblable; c'est ce qui arrive, quand les grandeurs absolues des résultats ne sont pas données, et que l'on ne cannait que leurs rapports. Dans ce cas, au lieu de reporter sur. le premier système' des parties égales à celles du second, on les porte proportionnelles, et dans un rapport déterminé par deux quelconques des grandeurs homologues.

NOUVEAUX KXEBC1CB9 Sun I.» RÉSOLUTION DES TEOBLEMES.

355. Problème 1. — Décrire un cercle tangent à trait cercles donnés.

Tout se réduit à trouver le centre de ce cercle, car sou rayon s'ensuivra immédiatement.

chapitre m. Zfi Soient A, B, C les centres des cercles donnés (fîg. 3») ; Ggurous-nous la construction demandée comme faite; soient O le centre du cerclé cherché ; M, N, P les points

Ri. ii.

de contact, qui seront respectivement sur les droites qui joignent le centre O aux trois autres. Les positions de ces trois centres et les grandeurs des rayons donnés pi'uvent donner lieu à bien des variétés que nous n'avons pas ici pour objet de discuter. Nous n'avons en vue que la méthode, et nous l'exposerons sur un quelconque des ras que la figure peut présenter, par exemple celui où les trois cercles donnés seraient entièrement extérieurs les uns aux

Or, avec tant soit peu d'attention, on reconnaîtra que le centre cherché O est le même que celui d'un cercle qui passerait par l'un des trois centres donnés et serait langent à deux cercles connus. Si, par exemple, on augmente le rayon du cercle O du rayon PC du plus petit des cercles donnés, et qu'on décrive du centre O un cercle avec ce nouveau rayon, il passera évidemment par C, et sera tangent aux deux cercles décrits de A et it comme centres avec des rayons égaux aux rayons des deux cercles donnés diminués du troisième rayon CP.

Le problème proposé est donc ramené au suivant ;

3j4 SC1EHCB HE l'ÉTBKOUB.

Décrire un cercle qui passe par un point donné et soit tangent à deux cercles donnés.

Noua laisserons maintenant de côté le problème proposé pour ne plus nous occuper que de celui-ci, auquel il est

Soient A, B les centres des cercles donnés [Jig- 33), C le point par lequel doit passer le cercle cherché, O son

Fi g. 33.

centre inconnu, et M, N les points où il touche les rerrles donnés.

H faut chercher les conséquences les plus immédiates résultant de la supposition qne toutes les conditions exigées sont remplies. On voit d'abord que les trois points O, M, B sont en ligne droite, ainsi que 0, N, A.

Si maintenant on mène par M et N une droite indéfinie WM qui coupe en S la ligne des centres AB, et l'un des cercles en I, on obtiendra une suite de conséquences importantes, qui ramèneront le problème à un autre beaucoup pins simple.

En eflet, le triangle MB! étant isocèle, comme OMN, a ses angles respectivement égaux à ceux de ce dernier, puisque les angles en M sont égaux comme opposés par le sommet; les angles en I et N sont donc égaux, cl, par suite, les lignes BI et OA sont parallèles : d'où il suit que le point S est le centre de similitude des deux cercles donnés,

CHArrritK m. 373 puisque la ligne DIS passe par les extrémités de deux rayons parallèle* BI, AN.

De In résulte, d'après une propriété, mentionnée précédemment, du centre de similitude de deux cercles, que le rectangle SN.SM est connu.

Or, si ou joint les points connus S et C, et que X soit le point de rencontre de SC avec le cercle inconnu, le rectangle SC. SX sera égal à SN.SM, et, par conséquenl, connu; donc, SX sera connu, comme étant [a quatrième proportionnelle h trois lignes connues; donc enfin le point X cat connu.

Maintenant que nous connaissons deux points du cercle cherché, qui doit Être, en outre, tangent aux deux cercles A et B, nous pouvons choisir un de ces derniers et chercher le cercle, d'après la condition qu'il lui soit langent et passe par les deux points connus; il y aura réciprocité : et nous ne nous arrcliTOiis pas , ; i la liéinnnlriT.

Le problème est donc ramené à cet autre, dont nous allons nous occuper en général :

Décrire un cercle qui passe par deux points donnés et soit tangent à un cercle donné.

Soient A, B les deux points donnés, et C le centre du

cercle donné {Jig. 34)- La solution serait bien facile pnur ceux qui connaîtraient le théorème suivant t

SCIENCE DE 1.' ETEND LE

Si, par deux points fixes A, 11, on fait passer tant du cercles que l'on voudra, qui coupent nu touchent un cercle

seront toutes pur un même poinl de la droite Ali.

Il est clair alors que si, par les deux points A, 15 et uu troisième quelconque, pris sur le cercle C, on fait passer un cercle, qu'on joigne les deux points où ces cercles se couperont, la rencontre de cette droite avec AH fera connaître un point de lu tangente au cercle C, menée au point de coulaet de eu dernier avec un cercle passant par A et B, et qui serait le cercle cherché. Il suffirait donc de mener du point déterminé sur Alt une tangente au cercle donné, et l'on aurait le point de contact du cercle cherché avec C. Le problème serait ainsi ramené à faire passer un cercle par trois points, ce que l'on sait faire.

Ou voit par cet exemple combien il est utile, pour la résolution des problèmes, d'avoir uu recueil de théorèmes, choisis surtout par la condition d'être applicables à un grand nombre de questions diverses; car il faut prendre garde de tomber dans l'inconvénient de l' accumulation de moyens de solutions, dont ou ne sentirait que rarement l'utilité.

Nous allons maintenant, dans l'exemple actuel, raisonner comme si l'on ne connaissait pas le théorème que nous

Soit AMIÎ Je cercle cherché, M le point de contact, cl MT la langeule commune aux deux cercles. Le carré de TM est égal au rectangle de ÏB et TA, et serait aussi égal au rei ■tani'lc d'une sécante quelconque TP menée par T au cercle donné, et de sa partie extérieure Ti\. Les quatre points A, B, N, P sont donc sur un même cercle; et, comme le poinl P est pris quelconque sur le cercle donné, on voit que si, par les points A et B, ou fait passer un cercle quelconque qui coupe celui qui est donné, la

CHiriTHE m. 377 corde commune PS passera par le poinl T, où la tangente eo M rencontre AB. Nous venons ainsi de démontrer le théorème que nous avions énoncé d'abord, et nous croyons inutile d'en dire davantage sur ce problème.

336. Problème II. — Inscrire dans un triangle, donné ABC un triangle semblable à un second triangle donné MNP, et ayant en un point donne D pris sur AB celui de set sommets qui est homologue h M.

Soit DXY le triangle cherché ( fig. 35) ; son angle D scia égal à M, ci le rapport de ses cotés DX, DY sera le même

Fij. 35 et as.

que celui de MN et MP; et réciproquement, il suffit de satisfaire à ces conditions.

Nous résoudrons d'abord ce problème par la méthode des lieux géométriques. Pour cela, nous laisserons de côté la condition que le sommet X soit sur la ligne AC, et nous serons ainsi conduits au problème suivant :

On joint un point donné D à un point quelconque Y d'une droite donnée BC (fig, 3j) ; au point D on mène

une droite DX, qui fasse avec DY un angle égal à un

3?8 SCIEHCE DE L'ÉTENDUE.

angle donne, et telle, que le rapport des longueurs DX, DY soit égal h celui de deux lignes données : trouver le lieu des points % ainsi déterminés.

Quand on aura résolu ce problème, ii suffira de chercher la rencontre de ce lieu avec le côté AC du triangle pro-

Pour résoudre ce problème, auquel le premier est ramené, on remarquera que pour construire un point quelconque X du Heu, on pourra commencer par prendre la longueur DX sur la direction même de DY, ce qui donnera un point X', puis faire tourner le point X' autour du I), de manière que le rayon DX' décrive l'angle donné M. Or, le lieu des points X'sera une droite parallèle à BC, et facile n déterminer. Le lieu des points X sera donc cette droite, que l'un aurait fait tourner autour de D de la quantité angulaire connue. Nous n'en dirons pas davantage sur celte solution.

357. Autre solution du même problème. — Appliquons maintenant à ce problème la mélbodo de renversement; parlons du triangle qui doit être inscrit, et cherchons à construire l'autre sur lui, Mais comme on ne connaît que l'espèce, et non les dimensions mêmes de ce triangle, on ne peut que chercher à construire un système semblable à celui qu'on cherche.

Soit donc construit un triangle quelconque M'N'P', semblable à MNP (jîg. 38).

Pour obtenir un triangle qui lui soil circonscrit et soit semblable a ABC, il suffira de décrire sur M'N' et M'P' des segments respectivement capables des angles A et B ; de mener par M' une sécante A'IV, puis de tirer les droites A'N', B'P'. Mais il y a encore une condition à remplir pour que le système soit semblable à celui qu'on cherche : c'est que le point M' divise A'B' dans le même

ch»htrb m. 3^9 rapport que le point D divise Alï. On est donc ramené à résoudre le problème suivant î

Par un des points d'intersection de deux cercles donnés, mener une sécante telle, que 1er. parties comprises dans les deux cercles soient dans un rapport donné.

Fi ( , 38.

Soient À el li les centres de ces deux cercle» (Jig. 3g), C le point commun , et MN la sécante chei chSe.

Le rapport de HC à NC étant donné, on connaît celui de leur» moitiés CP, CQ, déterminées par les perpendiculaires abaissées dés deux centres. Or, une conséquence bien simple de ce que cette condition est satisfaite, sera que la parallèle à ces perpendiculaires, menée par C, divisera AB dan» ce même rapport donné. Mais on peut trouver ce point de division I, puisque AB est connu ; on aura donc, en le joignant à C, la perpendiculaire à la ligne cherchée MN, et, par suite, cette ligne elle-même.

358. Problème Ht— Inscrire, dans un triangle donné, m triangle égal à un triangle donné.

Dans ce cas, le triangle à inscrire n'a pas l'indétermination qu'il avait dans le précédent, .nais aussi la position de ses sommets n'est assujettie à aucune condition.

On pourrait encore chercher à appliquer la mélliode des lieu* géométriques, en laissnnt de roté la condition que

l'un des sommets soit sur un des côtés du triangle donne. La position de ce sommet devient alors indéterminée, et si l'on pouvait eu construire le lieu, son intersection avec le côté du triangle donné ferait connaître la solution. Mais ce lieu n'est ni une droite ni un cercle; et, bien qu'il soit possible de déterminer cette intersection par des constructions de droites et de cercles, il vaut mieux renoncer n cette recherche peu élémentaire et essayer une autre méthode. Celle de renversement se présente uaiurelleiuc.nl et réussit immédiatement. Car, si sur deux côtés du triangle à inscrire on décrit des segments capables des angles correspondants du premier triangle donné, le problème sera évidemment ramené au suivant :

Par l'un îles points lie rencontre de deux cercles, mener une sécante telle, que la partie comprise entre ces cercles soit égale à une ligne donnée :

Problème trop facile pour <|iie nous croyions nécessaire d'eu indiquer la solution.

Par ces exemples très-simples, et que nous croyons inutile de multiplier, nous avons voulu montrer comment il faut habituer les élèves à chercher. On ne saurait trop les y exercer, pourvu qu'on ait soin de proportionner la difficulté à leur force, et que l'analyse y joue le plus grand rôle possible. Il ne faut pas leur dissimuler qu'on peut souvent

les suivre est toujours susceptible d'être dirigée, et il n'est > pas inutile de leur faire connaître de bonne heure l'insuffisance de nos moyens de recherche, ponr les esprits même les pins pénétrants, afin que l'insuccès ne les décourage pas, et ne les empêche pas de reconnaître que des efforts bien dirigés ont toujours un résultat utile pour l'esprit, même lorsqu'ils ne produisent pas celui qu'on avait eu vue.