CHAPITRE ï

dproquemcnt. Il est de plus évideut que si l'un des rapports -i tend vers zéro, il en est de mftiie de l'autre, puisque à, étant la différence de a clo', est compris dans l'un une fois de plus seulement que dans l'autre.

Le principe fondamental peut donc s'énoncer de celle autre manière :

La limite il' une somme ou d'un rapport d'infiniment petits n'est pas changée, quand on les remplace par d'autres nui en différent respectivement de quantités infiniment petites par rapport à eux.

la comparaison et le calcul difficiles. Il suffit toujours que cette partie soit infiniment petite relativement à la quan-

résultals où l'on n'a en vue que les limites des rapports ou des sommes de ces quantités infiniment petites.

Nous allons en faire l'application aux questions générales les plus importantes de la Géométrie.

COMMENT LES AIRES OES COURBES FLANES PEUVENT ÊTRE CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE SOMMES d'iNFIN IUENT

378. Sommes de parallélogrammes infiniment petits. — Considérons une surface plane limitée par des ares de courbes quelconques; divisons-la par un système de parallèles dont les distances soient dans des rapports arbitraires, mais tendent toutes \crs zéro. La somme des

identique avec l'aire cherchée ; et chacune de ces aires élémentaires offre la même difficulté que la proposée, puisqu'elle renferme des courbes dans son périmètre.

^03 SCIENCE DE l' ÉTENDUE.

Mais si à cbacuDe de ces aires élémentaires on supprime ciu l'on ajoute des parties infiniment petites par rapport à ces aires respective?, et qui fassent disparaître la partie courbe de leur périmètre, la limite de la somme de ces nouvelles aires plus simples sera, l'aire cherchée, d'apr ès le principe général. Le moyeu le plus commode d'obtenir ce

minées à la corde suivante. Soient, en effet, mn, ni ri deux parallèles consécutives quelconques : en menant par les extrémités ni, ri (Jig. <jo) des parallèles m'W, n'y ;ï une direction choisie à volonté, on retranche les parties n'Vn,

ne- 4°-

mités ni, il, on ajouterait, au contraire, les parties niMm', nn'ï. Or, deux de ces quatre parties sont moindres que le parallélogramme nln'V, et les deux autres moindies que le parallélogramme mHm'H'; ces deux parallélogrammes sont infiniment petits par rapport au parallélogramme n/H'nT, qui est moindre que le segment de la courhe, car leurs rapports à ni H' ri V sont les mêmes que ceux de leurs bases mff, ni' à la base HT, et ces derniers tendent vers zéro, puisque les parallèles mn, m'n' se rapprochant indéfiniment, n.H' et ni' tendent vers zéro, tandis que H'I' reste fini. Il suit de là que les rapports des parallélogrammes HII', II' au segment de la courbe ont pour limite zéro ; il en est de même, à plus forte raison, des triangles formés par les arcs mm', nri, et, par conséquent, l'aire de la courhe est la limite de

la somme dus parallélogrammes ayant pour bases les cordes parallèles, pour hauteurs leurs dislances, et pouvani être entièrement intérieurs ou en partie extérieurs à cette aire.

On peut même remarquer qu'il n'est pas nécessaire que les sommets des parallélogrammes soient aux exlrérailés mêmes des cordes : il suffit qu'ils soient en des points infiniment voisins de ces extrémités ; il n'est même pas nécessaire que ces parallélogrammes soient conligus, pourvu que l'intervalle entre deux consécutifs soit infiniment petit par rapport aux hauteurs infiniment petites de ces parallélogrammes, car cela revient a retrancher de chaque élément une partie infiniment petite par rapport à lui-même. Oik' onsidération générale, dont l'exactitude résulte du principe fondamental, s'applique à tout ce qui suit.

Pour abréger, nous représenterons une somme de termes ayant une même expression générale par le signe ^ suivi de cette expression. Ainsi, u désignant une corcîe quelconque, et a la distance de deux cordes consécutives, ^«g représentera la somme des aires des parallélogrammes variables, et lim ^aa représentera la limite de leur somme, ou l'aire de la courbe.

379. Sommes île trapèzes infiniment petits. — Au lieu de supposer les lignes mH, m'H', «I, «T parallèles à une direction fixe, ou pourrait les mener dans des directions différentes les unes dcsautres;il suffit qu'elles fassent toujours un angle fini avec les Cordes. Et. effet, la figure »I«T deviendra un trapèze dont les bases «'J, ni' seront infiniment petites, puisque les lignes n'V, ni font avec mu des angles finis, et que la hauteur du trapèze est infiniment petite; la mesure de ce trapèze a donc un rapport infiniment petit avec celle du trapèze intérieur tnfH'n'V, et, par conséquent, avec le segment même de la courbe. Il en

4"4 1CIBHCE DE l'ÉTBKDVB.

serait île mÊme du trapèze mH/n'H'- Si donc, au lieu de ce segment, on prend un des trapèzes ayant pour base mn, ni'»', mV ou nH', on ne fait qu'ajouter ou retrancher à l'élément eiact de l'aire cherchée une quantité in6nimeut petite par rapport à cet élément, et la limite de la somme de ces trapèzes sera précisément égale à la somme des élémeuts exacts de celle aire ou à celte aire elle-même.

Le cas le plus simple est celui des trapèzes inscrits dans le segment : les côiés non parallèles sont alors les cordes mni, nn'. Il peut aussi être quelquefois utile de Faire concourir toutes les lignes raH, m'H', ni, n'V vers un même point; et c'est ce qu'a fait Archîmèdc dans une de ses méthodes pour la quadrature de la parabole.

380. Sommes de secteurs infiniment petits. — Il n'est pas nécessaire de supposer parallèles les cordes qui divisent l'aire en éléments infiniment petits. On peut assujettir leurs directions à une loi quelconque, suivant les circonstances ; la seule condition nécessaire est de n'ajouter ou retrancher à chaque élément exact qu'une quantité infiniment petite par rapport à lui.

Une des lois les plus simples est celle qui fait passer toutes les cordes par un même point. Soient O ce point [ftg. 4i),

Fi c . «i.

ci Om, Om' deux sécantes faisant entre elles un angle infiniment petit; la somme des éléments On/m est identique avec l'aire cherchée, si le point O est dans son intérieur, et que le contour n'offre pas de sinuosilés : cette aire sera la

CHAF1TKE V. 405

limite de la somme des aires que l'on obtiendra en ajoutant ou retranchant à chacun de ces éléments une quantité infiniment petite par rapport à lui.

Celle modification des éléments exacts, et qui a toujours pour objet de les simplifier, peut être faite de bien des manières différentes. On pourrait mener paroi, m' des droites, dans des directions déterminées, et substituer les triangles rectijignes à l'élément exact. On pourrait aussi, au lieu de lignes droites, mener des courbes arbitraires; mais ce qui est ordinairement le plus simple, c'est de décrire des arcs de cercle ayant O pour centre, et c'est ce qu'a Tait Àrchimcdc dans sa quadrature de la spirale.

Il est facile de voir, en effet, que le rapport des deux secteurs circulaires semblables ayant pour rayons Om, (W, étant celui des carrés de ces lignes, a pour limite l'unité, cl que, par conséquent, leur différence est infiniment petite par rapport à ces secteurs. Or, l'un de ces secteurs est compris entièrement dans l'élément Om'm, el celui-ci est compris entièrement dans l'autre secteur; car on peut supposer l'angle O assez petit pour que les rayons vecteurs de la courbe croissent ou décroissent constamment de m en ni. Doue, le rapport de chacun des deux secteurs à l'élément exact de l'aire a aussi pour limite l'unité; et l'aire cherchée esl la limite de la somme des secteurs circulaires infiniment petits, intérieurs ou extérieurs.

Si le point O n'était pas dans l'intérieur de l'aire proposée, celle-ci serait la différence de deux aires auxquelles ce point appartiendrait, et que l'on considérerait séparément, comme ou vient de le dire. Peut-être même y auraitil plusieurs différences; cela dépend de la forme du contour. On pourrait aussi prendre la différence de deux secteurs compris entre les mêmes rayons, el chercher la limite de la somme de ces différences.

Au lieu de supposer que les cordes passent par un même

donnée; on pourrait les assujettir à d'autres lois encore : toutes ces généralisations n offrent aucune difficulté, quand on a bien saisi les principes précédents, et nous ne nous y arrêterons pas.

Remarque. — Lorsqu'on connaît la nature de la courbe qui termine la surface à évaluer, et le mode de décomposition en éléments infiniment petits, les quantités plus

par une même formule, et la question géométrique est

des nombres. Celle question, généralement très'difficilc, se rapporte à des théories que nous ne nous proposons pas d'étudier ici ; elles sont du ressort des Traites spéciaux do calcul infinitésimal.

Néanmoins., nous donnerons ici quelques exemples simples de la métliode que nous venons d'exposer.

COMMENT LES VOLUMES DKS COUPS PEUVENT ÉtDK CONSIDÉRÉS COMME LIMITES DE SOMMES d' [ HFI N LMEMT PETITS.

381. Solide* lie révolution. — Supposons une surface plane quelconque tournant autour d'un axe AX (fig. 4a)

situé dans son plan, et proposons-nous de calculer la portion du volume engendré qui sera comprise entre deux

plans quelconques perpendiculaires à AX. Ces plans peuvent être considérés comme engendrés par des perpendiculaires MP, NQ ; les deux surfaces courbes qui terminent le volume à mesurer sont engendrées par des arcs de courbes données MN, M'N', el te volume est la différence de deux autres engendrés respectivement par les quadrilatères M NPQ, M'N'PQ. ISornons-nous donc au calcul d'un quelconque de ces derniers, par exemple celui qu'engendre MNPQ.

Décomposons ce volume au moyen d'une suite de plans perpendiculaires à l'axe, infiniment voisins les uns des autres, et substituons à ces éléments, dont la somme est constamment égale à ce volume mime, d'autres éléments d'une espèce plus simple et tels, que le rapport du chacun d'eux à son correspondant ait pour limite l'unité. La limite de la somme de ces nouveau* éléments indéfiniment décroissants sera, d'après le principe fondamental, la valeur exacte du volume à mesurer. Soient R, R' deux points quelconques de MN, correspondants à deux plans sécants consécutifs; S, S' leurs projections sur AX; on peut supposer SS' asseï petit pour que les perpendiculaires ou

à R'; d'où il suit que les deux rectangles' RSS'I cl R'S'SI' engendreront autour de AX des cylindres dont l'un sera plus petitel l'autre plus grand que la partie du solide proposé comprise entre les deux plans sécants. Or, le rapport de ces deux cylindres de même hauteur est égal à celui de leurs bases ou des carrés de leurs rayons RS, R'S'; el à mesure que S' se rapproche de S, le rapport des ordonnées RS, R'S' se rapproche de l'uuîlé, ainsi que celui de leurs carrés. Donc, la limite du rapport des deux cylindres est r unité} et il en est de même, à plus forte raison, pour le rapport d'un quelconque de ces cylindres au volume intermédiaire qui est l'élément exact du volume cherché.

4o8 SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

Donc, le volume engendré par MNPQ est h limite d'une somme de cylindres ayant pour hauteurs les parties infiniment petites dans lesquelles on décompose PQ, et pour rayons de leurs bases les ordonnées de Mft correspondantes aux poinis de division PQ.

Ces cylindres pourront être pris tantôt intérieurs, tantôt en partie extérieurs, sans que la limite de la somme soit changée, puisqu'ils satisfont toujours à la condition unique qu'ils doivent remplir.

Si l'aire génératrice n'est pas terminée à l'axe AX, mais à une seconde courbe M'N', le volume engendré sera la. différence de deux autres qui rentrent dans le premier cas. On pourra aussi le considérer comme la limite de la différence des deux sommes de cylindres, ou de la somme des différences élémentaires correspondantes.

382. Solides terminés par des surfaces quelconques. — On concevra encore un système de plans parallèles, k des distances infiniment petites les uns des autres, et tels, que le solide entier que l'on veut mesurer soit compris entre le premier et le dernier; puis on cherchera à substituer à la partie comprise entre deux plans consécutifs quelconques un solide d'uni- espèce plus simple, et qui n'en diffèi e que d'une quantité infiniment petite par rapport a elle Or, s il arrive qu'en menant, par tous les points do contour d'uni- ilt-s si-i tions, des parallèles a une m^me direr.lion, jusqu'au plan de l'autre, la projection ainsi effectuée de la première courbe soit tout entière comprise dans la seconde, le cylindre ainsi formé sera tout entier compris dans la tranche du solide située entre les deux plans. Au contraire, le cylindre formé par des parallèles à la même direction menée du contour de la seconde section au premier plan, renfermera entièrement cette même tranche. Mais le rapport des deux cylindres de même hauteur est égal à celui

CHAPITJIE V. 4°9

s bases, lequel tend indéfiniment vers l'unité, à

tranche du solide, à l'un quelconque d'entre eux, a pour, limite l'unité : ou, en d'autres termes, chacun de ces cylindres diffère de l'élément exact du solide, d'une quantité infiniment petite par rapport à cet élément. Donc, enfin, le ■volume proposé est limite /l'une somme de cylindres ayant pour bases les sections du solide par des plans parallèles infiniment voisins, et pour hauteurs les distances de ces plans.

Ce premier cas est celui de tous les corps auxquels Arcbimède a appliqué ce procédé dont on lui est redevable.

383. Mais il peut arriver que les parallèles menées par les points d'une des sections ne soient pas toutes intérieures, ou toutes extérieures à la tranche du solide; et alors le raisonnement précédent ne suffirait pas ; car, dans ce cas, aucun des deux cylindres infiniment petits ne serait avec évidence plus petit ou plus grand que le volume de la tranche exacte du corps. Mais on peut concevoir deux cylindres qui n'auraient pas pour hases les sections mêmes du corps, et tels, que l'un envelopperait entièrement la tranche, tandis que l'autre serait complètement intérieur; leurs bases tendraient indéfiniment à se confondre avec l'une des sections qui resterait fixe, tandis que l'autre s'en rapprocherait indéfiniment; et la coïncidence serait complète, si la distance des deux plans était réduite à sa limite zéro. Le rapport des deux bases des cylindres entre lesquels est comprise la tranche a donc pour limite l'unité; et l'on peut dire encore que le volume d'un solide quelconque peut étie regardé comme la limite d'une somme de cylindres infiniment petits, ayant pour bases les sections du solide par des plans parallèles infi-

4io science ne l'étebdub. — CHAPITRE V.

ninienl -voisins, et pour hauteurs les distances fie cet

plan,.

384. On pourrait encore considérer le solide comme décomposé par deux séries de plans parallèles iuGniment voisins, et prendre les plans d'une des séries perpendiculaires aux plans de l'autre. Un élément du solide, compris entre deux plans consécutifs d'une série et deux plans consécutifs de l'autre, pourra cire remplacé par un parallélépipède qui aurait pour base la section de ces quatre plans par un plan perpendiculaire aux plans des deux séries. En prenant pour hauteur de ce parallélépipède la longueur d'une quelconque des quatre cordes de la surface formées par les intersections des quatre plans, on aurait un solide dont le rapport à la partie exacte du proposé aurait pour limite

Le volume cherché serait donc la limite d'une somme de parallélépipèdes dont les bases seraient des rectangles ayant leurs côtés infiniment petits.