DE LA LONGUEUR DES LIGNES COUHBES. ET DE L'AIRE. DES SURFACES COURBES

385. Nous avons dit que deux droites avaient même longueur, lorsqu'elles po u va i en l coïncider, ou, en d'autres termes, lorsqu'elles étaient égales-, ce n'est que de celle manière que le mot longueur s'est introduit dans notre langage, et nous nous sommes bien gardé de le définir. Et, de même, quand nous disons que la longueur d'une ligne surpasse celle d'une autre, cela signifie que la première ligne est plus grande que la seconde. On n'emploie jamais ce mol que quand il y a comparaison, et, quand on se borne à dire : la longueur d'une ligne, ou entend toujours

Dans quel cas maintenant pnurra-t-un dire que deux courbes ont même longueur, ou sont égales? C'est évidemment quand elles pourront coïncider. Or cela n'est possible ijue dans des cas très-particuliers, par exemple pour des arcs de cercles dont les rayons sont égaux : deux arcs de cercles de rayons différents ne peuvent donc être égaux, dans le sens reçu jusqu'ici j et si l'on veut pouvoir dire que, sans être superposables, ils sont équivalents en longueur, comme on a dit que des figures non superposablcs out des surfaces équivalentes, il faut dire bien nettement ce que l'on entendra par là, et ne pas agir comme si l'on dissimulait une difficulté qui réellement n'existe pas,

4l1 SCIENCE DE L'ÉTENDUE.

puisqu'il ne s'agira que d'Être conséquent à la définition

Le terme de comparaison le plus simple à prendre étant la ligne droite, la question consistera à déterminer la droite que l'on dira de même longueur qu'une courbe doDiiée quelconque, ou à définir le rapport de la longueur du la courbe à l'unité, ou simplement ce qu'on appellera longueur de la courbe.

Or voici celle que nous adoptons :

La longueur d'une courbe donnée est la limite vers laquelle tend le pèiimètre d'un polygone inscrit dans cette courbe, et dont les côtés tendent indéfiniment vers zéro.

Mais cette définition n'aura un sens précis que quand on aura prouvé que celte limite existe, et est unique quelle que soil la loi suivant laquelle les côtés du polygone tendent vers zéro : c'est ce que nous allons faire.

Considérons un arc de courbe quelconque, et supposonsle, pour plus de simplicité, convexe dans toute son étendue, c'est-à-dire tel, qu'il ne puisse être coupé par une droite en plus de deux pointa : il en sera de même alors de tous les polygones inscrits. Si la courbe n'était pas dans ce cas, on la partagerait en parties pour chacune desquelles cette condition serait remplie; et pour chacune de ces parties on procéderait comme il suit.

Soil donc un arc convexe de courbe quelconque AB, et

tl e . 1,3.

adoptons, par exemple, la loi suivante pour l'inscription

des polygones successifs : joignons bus deux points A et B le point C de la courbe, qui est également distant de l'un et l'autre, et qui se trouve, par conséquent, à l'intersection

de la courbe et de la perpendiculaire élevée sur le milieu de la corde AB. Joignons ensuite aux extrémités des arcs AC, CB les points D, E, qui sont respectivement équidistants de leurs extrémités; et commuons ainsi indéfiniment : le nombre des côtés se doublant toujours croîtra sans limite, et la grandeur de ces côtés tendra vers la limite ïéro. Il y a maintenant deux observations importantes à

D'abord les périmètres augmentent avec le nombre des côtés, puisqu'on remplace toujours un côté par deux autres terminés à ses extrémités, et donnant, par conséquent, une somme plus grande.

Ensuite le périmètre croissant ne peut dépasser toute grandeur ; car il restera toujours moindre que le périmètre d'un polygone fixe enveloppant la courbe, et tracé arbitrairement. Or, une grandeur toujours croissante, et qui ne peut atteindre une certaine valeur fixée, a nécessairement une limite déterminée, connue ou inconnue (*). Donc, 1rs

4 I 4 SCIEBCE DE L'ÉTEKDtlE.

périmètres des polygones inscrits dans la courbe suivant la loi particulière nue nous avons choisie, ont une limite; ce qui était la première proposition à établir.

Reste à démontrer que l'on aura la même limite, quelle que soit la loi d'inscription des polygones, pourvu que leurs côtés tendent tous vers zéro.

Considérons en effet deux polygones inscrits, ayant leurs côtés extrêmement petits, l'un appartenant à la série que nous venons de désigner, cl le second correspondant à toute autre loi d'inscription : menons par tous les sommets de l'un et de l'autre des lignes parallèles a une même direction arbitraire, les deux périmètres seront partagés par ces lignes en un même nombre de parties ; et celles qui seront comprises entre deux parallèles consécutives auront un rapport d'autant plus près de l'unité que les côtés seront plus petits; car leurs directions différant aussi peu qu'on voudra de celle de la tangente à la courbe, en l'une de leurs extrémités, l'angle qu'ils comprennent tendra Ters ïéro : et si l'on forme un triangle avec ces deux côtés comprenant cet angle, les deux autres angles tendront indéfiniment vers des valeurs finies supplémentaires l'une de l'autre. Le rapport des côtés qui leur sont opposes est le même que ceux d'un triangle qui aurait les mêmes angles et dans lequel le côté correspondant à l'un des premiers resterait fini. Or, dans ce dernier, dont l'angle au sommet tend vers zéro, le second côté tend évidemment vers le premier et leur rapport vers l'unité; il en est donc de même du rapport des deux côtés infiniment petits du premier. Il suit de là, d'après le principe fondamental, que le rapport des deux périmètres tend vers l'unité à mesure

Moment qu'une variable qui Ta toujours en décroissant, mais qui roule toujours nu-Jtssut d'une certaine qunnlita Bxt, a nécessairement une

que les côtés tendent vers zéro. La limite obtenue par le premier mode de subdivision, est donc la même que pour

Il est bon d'observer qu'on trouverait encore la même limite, si les sommets du polygone n'étaient pas sur la courbe même, mais en étaient infiniment voisins, et que les côtés eussent toujours pour limites de leurs directions celles des tangentes aux points infiniment voisins. On pourrait encore considérer les polygones circonscrits à la courbe : ou pourrait même prendre une suite de lignes séparées les unes des autres. Imaginons, par exemple, des parallèles qui coupent l'arc de courbe et soient infiniment, voisines les unes des autres : si, par ebaque point de division, ou mène une tangente, la suite discontinue des portions de ces tangentes comprises entre le point de contact et la parallèle voisine, aura, d'après les raisonnements précédents, la même limite que le périmètre inscrit. Ce procédé a été employé par Fermât. On trouverait encore bien d'autres manières de parvenir à la même limite par des sommes de lignes droites; la seule condition nécessaire est que ces sommes et les périmètres inscrits, se composent d'éléments correspondants dont le rapport ait l'unité pour limite. On aurait pu commencer par un polygone circon-

scrit, et passer au suivant, en menant des tangentes par

les points intermédiaires; ou aurait ainsi

. un périmètre

moindre. En continuant ainsi, les péri mit]

■es toujours dê-

croissants, mais toujours supérieurs à une

grandeur fixe,

par exemple à une ligne brisée intérieure.

ou même à la

droite qui joint les extrémités, auraient u:

ne limite. Cela

admis, tout ee qui précède s ensuivrait.

Remarques. — Tout polygone circonsc:

-il à un are de

courbe convexe est plus grand que cet arc.

Car si, entre deux points de contact co

conques, on mène une tangente, il en résulu

ra un polygone

4»6 BCIESCB DE LÊTBHDVK. *

• irtonsirit d'un l'ériuiéiiv iiiuimlre que le édciit. K» agissant d<> mftrne pour ce nouveau polygone, L-t ainsi dr suïlc indéfiniment, le périmètre de ce» [mlvgono. va toujours fn diminuant cl a pour liniilc l.i lungucur île l'arc. Donr, cette longueur esl moindre que celle du polygone <.in.o.>si rit qnetrouque d'où l'ou esl parti. Lu raisonnement jualoguc piouvc que la longueur de l'an rsl plus prandi: que celle de loui polygone insirit.

Il résulte de là que loul are ronu xe esl moindre qu'uni: ligne quelconque qui l'enveloppe, en parlant des mêmes enliémités. Il suffit, en effet, de concevoir un polygone circonscrit au premier arc et ayant les côtés asseï petits pour n'avoir aucun point commun avec le second el un polygone inscrit à celui-ci et qui enveloppe le premier. Ce dernier sera moindre que celui qui l'enveloppe, comme un le prouve dans la Géométrie élémentaire; donc, à plus forte raison, l'arc inscrit sera moindre que l'arc circonscrit au plus grand polygone.

Les cas les plus singuliers qu'on pourrait imaginer n'offriront aucune difficulté. On verrait de la même manière qu'une courbe convexe fermée est moindre que toute ligne qui l'enveloppe.

Voici encore une remarque qui n'esl pas sans utilité - . Soient AB {fig. 44) un arc convoie quelconque, AC une

Fi B . 44.

droite meuéede l'cxtrémilé A el ayant mÈmc projection Al'

sur une ligue Ali. Si toute:

i le

i tangentes de A eu H for-

■nom avec Ai: des angles .

ùgu

s plus petits qui' CAU, la

longueur AC si-ra (.lus gra

ml.

Que celle de l are AB. En

effet, si l'on conçoit pol

ne circonscrit a AB el dont

les poinis de coniact extrèi

soient A et II, il sera plus

gi and que l'arc , mais il si-t a

pl.

is petit que AC ; car, si par

tous les sommets on mène d

iaralksle»« PBC, l« parties

de AC. comprises entre ces

pal

allèles seront plus grandes

que les côtés correspondant:

<du

polygone, qui font avec AU

des angles aigus plus petit

la ligne AC est donc plus

grande que l'arc AB.

On verrait semblablemeu

je si les taDgenies en tous

les points de A et B font

: AU des angles aigus plus

grands que CAU, la droite AC's

era plus petite que l'are AB.

Car on pourrait inscrire dans l'arc un polygone dont les côtés auraient des directions assez voisines de celles des tangentes pour que leurs angles avec AU fussent plus grands que CAU. Ce polygone serait alors plus grand que AC, el, à plus forte raison, l'arc AB le serait aussi.

11 suit de là que la longueur de l'arc est comprise entre celles des deux tangentes comprises entre les parallèles extrêmes,' et dont l'une est la plus inclinée de toutes, êt

386. Les surfaces courbes ne pouvant coïncider que dans des tas très-particuliers, on ne pourrait établir aucune comparaison entre elles sous le rapport de l'étendue si l'on définissait par la superposition leur égalité en étendue.

La définition que nous donnerons de l'aire d'une surface courbe, ramène à la considération des aires des surfaces planes, que l'on sait évaluer, el est tout à fait ana-

4l8 SCIENCE DE l/éTENDUE.

logue à celle que nous avons donnée pour la longueur des lignes courbes.

Nous appellerons aire d'une surface courbe la limite de faire d'un polyèdre inscrit dont les faces tendent indéfiniment vers zéro.

Mais, pour que celle défini lion ait un sens précis, il faut démontrer qu'il y a une limite pour l'aire de ce polyèdre, et qu'elle est indépendante de la loi suivant laquelle ses faces tendent vers zéro.

Une notion préalable indispensable est celle du plan tangent. On démontre facilement que toutes les tangentes à une surface menées par un quelconque de ses points, sont en général dans un même plan ; et, par suite, que si, par ce point et deux autres infiniment voisins pris sur la surface et non en ligne droite avec lui, on fait plisser un plan, ce plan tend vers une limite déterminée à mesure que les deux points variables se rapprochent du premier, et cette limite est le plan tangent.

Cela posé, concevons sur toute l'étendue de la surface en question des points à des distances infiniment petites les uns des autres; joignons-les par des lignes droites qui déterminent une suite continue de triangles inscrits, ayant tous leurs côtés infiniment petits. Subdivisons indéfiniment ces triangles en d'autres, en prenant par exemple les milieux d'arcs qu'on tracerait sur la surface entre les sommets du même triangle.

Concevons ensuite un polyèdre inscrit suivant toute autre loi, et dont les faces décroissent indéfiniment; et comparons les surfaces de ces deux polyèdres. Pour cela, par toutes les arêtes du premier, menons des plans parallèles n une même droite; les trois qui partiront des côtés (l'un quelconque des triangles comprendront entre eux une portion de la surface du second polyèdre qui sera plane ou composée de plusieurs parties non dans le même plan. Dans ce dernier cas,

en menant de nouveaux plans par les arêtes Je cette portion île surrace et faisant de même pour toutes les faces du premier polyèdre, les deux surfaces seront décomposées en portions planes ayant deux à deux mime projection sur un plan perpendiculaire à loua ceux qui opèrent cctle décomposition.

Or, deux quelconques de ces surfaces correspondantes font avec le plan de projection des angles qui tendent à Être égaux, puisque leurs directions sont infiniment voisines de celles d'un même plan tangent; leur rapport tend donc indéfiniment vers l'uni le, et par conséquent il en est de même de leurs sommcls ou des surfaces entières des polyèdres inscrits.

La loi suivant laquelle on détermine les sommets des polyèdres inscrits n'influe donc pas sur la limite, si elle existe, et il suffit de prouver qu'elle existe, soit pour une loi particulière d'inscription, soit pour une somme de faces obtenues par une autre voie, et telle, que son rapport avec la surface des polyèdres inscrits ait pour limite l'unité.

.'J87. Concevons d'abord un plan tel, qu'eu y projetant la portion de surface dont il s'agît il ne se trouve pas deux de ses points ayanl mtac projection, c e qui est toujours possible en la subdivisant en parties qu'on considérera séparément. Supposons ensuite une série de plans parallèles entre eux, perpendiculaires au premier, cl distants les uns des autres d'une quantité infiniment petite a ; puis une seconde série de plans parallèles distants les uns des autres d'une quantité infiniment petite 6, perpendiculaires au

surface proposée se trouvera décomposée en parties dont la projection sera égale au rectangle a6, ou à une fraction de ce rectangle pour les parties voisines du contour. Dans chacune de ces parties, menons le plan tangent au point tel

4ao SCIES CE de l'êteudue.

qu'il fasse le plus grand angle avec le plan de projection. Soit u cet angle; si nous formons un triangle rectangle dont l'angle à la base soit il y aura même rapport de l'hypoténuse à la base, que de la portion de plan tangent qui se projette suivant 06, à sa projection. Désignant te rapport par m, la portion de plan langent sera exprimée

Si maintenant on conçoit deux nouvelles séries de pions parallèles respectivement à ceux des précédentes, et partageant en deux parties égales l'intervalle de deux consécutifs quelconques, chaque portion de la surface se trouvera divisée en quatre autres. Dans chacune de ces nouvelles portions, nous mènerons de même le plan tangent faisant le plus grand angle avec le plan de projection, et les quatre portions de ces plans qui remplaceront celle qui se projetait dans le même espace ctS formeront une somme moindre, puisque, pour trois d'entre elles, l'angle formé avec le plan de projection sera moindre que celui que formait le plan tangent dans le mode de division précédent.

Eu suivant indéfiniment le même procédé, la somme de: portions indéfiniment décroissantes des plans tangents ii-i donc constamment en diminuant. De plus, elle sera toujours supérieure à une quantité fixe, par exemple la projection de la surface entière : donc elle a une limite. Or, les raisonnements faits pour deux polyèdres inscrits, ayant leurs faces infiniment petites dans tous les sens, s'appliquent à toute somme de faces infiniment petites donnant la même projection totale, et faisant avec les plans des faces correspondantes, des angles ayant r.éro pour limite. Donc la limite de la somme des portions discontinues de plans tangents que nous avons considérée est aussi celle de la surface de tous les polyèdres inscrits.

Cette limite unique est ce que nous nommons l'aire de la surface courhe.

uumthe vr. 4ai 389. Il est bon de remarquer qu'on trouverait encore la même limite si, au lieu de s'assujettir à prendre dus faces planes, On prenait des surfaces courbes variables telles, que pour les points situés sur une même ligne perpendiculaire au plan fixe de projection, ies plans tangents à ces surfaces et à la proposée fissent entre eux des angles infiniment petits. Car les faces planes qu'on circonscrirait à ces surfaces auraient II» rapport aussi près de l'unité qu'on voudrait, avec les parties de ees surfaces et de la proposée, correspondantes à la même projection sur le plan fixe ; on trouverait donc encore la même limite pour leur somme.

389. Enfin; on reconnaîtrait d'une manière analogue à ce qui a été fait pour les courbes, que toute surface convexe est plus petite qu'une surface qui l'enveloppe de toutes parts, ou qui l'enveloppe et est terminée ao même con-

F.t de même, une surface courbe est moindre qu'une surface plane ayant même projection orthogonale sur un plan, et faisant avec ce plan un angle plus grand que tous ceux que font avec lui les plans tangents à la surface en tous ses points. L'inverse aurait lieu si tous ces derniers angles étaient au contraire plus grands que le premier.