CHAPITRE VII

APPLICATION DE LA METHODE DES LIMITES ET DE LA MÉTHODE INFINITÉSIMALE A QUELQUES QUESTIONS TRAITEES PAR LES ANCIENS

390. Nous prendrons pour premier exemple la question traitée précédemment par la méthode des anciens, cl ayant pour objet de trouver le rapport des surfaces de deux cercles dont les rayons sont donnés.

En employant les niCrues notations cl considérant les polygones inscrits dont les cercles sont les limites, on obtient, comme nous l'avons vu, la relation

qui a lieu constamment entre les aires variables P, P' de ces polygones.

Or nous avons démontré généralement qu'on obtient unirelation rigoureusement exacte entre les limites, en les substituant aux variables dans la relation trouvée entre ces dernières. On trouvera ainsi

ce qui prouve que deux cercles quelconques sont entre cu\

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391. Les circonférences de deux cercles quelconques sont entre elles comme leurs rayons.

Cela résulte de ce qu'elles sont les limites des périmètres de polygones réguliers inscrits, et que ces périmètres sont entre eux comme les rayons des cercles, si l'on donne à ces polygones le même nombre de côtés.

11 en serait de même des portions de ces circonférences qui correspondraient à des angles égaux aux centres.

11 suit de là que le rapport de la circonférence au diamètre est le même pour tous les cercles. Archimède en a donné la valeur approchée. II a montré qu'il est compris entre 3 j et 3 jf. Avant lui on ne s'était pas occupé de la longueur des lignes courbes. Euclide n'eu parle pas, non plus que de l'aire des surfaces courbes.

C'est pour rendre possible la comparaison de ces grandeurs, qu'Arcbïmède a posé des principes qui sont encore admis dans renseignement, mais dont nous n'avons pas fait usage. Il nous a semblé bien préférable de partir des définitions que nous venons de faire connaître, pour la longueur des courbes et l'aire des surfaces courbes.

Les principes admis par Archimède consistent en ce que la ligne droite est plus petite que toute courbe ayant les mêmes extrémités; qu'une courbe concave vers la droite qui joint ses extrémités est plus courte que toute autre ligne qui l'enveloppe, et a les mêmes extrémités; qu'une surface plane est moindre que toute surface terminée au même contour; et enfin, qu'une surface concave vers un même plan est moindre que toute autre surface qui l'enveloppe et est terminée au même contour.

Au moyen de ces principes, Archimède a pu résoudre un grand nombre de questions de la plus haute importance, qui n'avaient pu être abordées par les géomètres qui l'avaient précédé. Tout ce qui dépend de la longueur des courbes et de l'aire des surfaces courbes, c'est-à-dire une

4î4 SCIENCE DE l'eTËKDUE.

grande partie de la Géométrie, se trouvait hors de la porlée ■lu raisonnement.

392. Le rapport de la circonférence au diamètre est d'une si grande importance, qu'après a vnir démontré qu'il élait incommensurable, on a cherché du moins à en approcher de manière à rendre l'erreur sans influence sensible. On a même été bien au di:l;i des lie-om.. delà pratique; on a eu la curiosité de connaître plus des cent cinquante premières décimales; et il est inutile de dire qu'on n'a jamais eu besoin d'employer une aussi grande approximation.

Dans les calculs on désigne le rapport, supposé exact, par la lettre ^ ; de sorte que si l'on appelle R le rayon d'un cercle, le rapport de sa circonférence à ail sera JT, el la cir-

393. Les angles au centre ayant en tre eux le même rapport que les arcs compris entre leurs cotés, on pourrait prendre ces arcs mûmes, évalués en nombres, comme mesure des augles ; ïl suffirait pour cela que l'angle pris pour unité interceptât entre ses cotés un arc égal à l'unité de longueur. Alors le nombre qui exprimerait un angle quelconque serait le même que celui qui exprimerait l'arc qu'il intercepte. Pour l'évaluation des arcs d'un cercle, l'unité la plus naturelle à choisir est le rayon lui-même; et les angles se trouvent mesurés par le rapport de l'arc au rayon, qui est indépendant du rayon choisi. Alors la de mi -circonférence sera exprimée par ir, cl ce sera la mesure de deux angles droits : l'angle unité sera celui qui interceptera entre ses cotés un arc égal au rayon. On l'obtiendrait en degrés en faisant la proportion

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d'où

nombre incommensurable qui exprime en degrés l'angle choisi pour unité dans le système où les .myles sont mesurés par le rapport de l'arc an rayon. Ce syslème esi employé toutes les fois qu'on n'a pas en vue la réduction immédiate des résultats du calcul en nombres.