Surface du code. — Le cercle étant considéré

sure sera la limite de celle de ce polygone, ou le produit de la circonférence par la moitié du rayon, comme l'avait démontré Archimède.

Si R désigne le rayon, la circonférence sera airR, et par conséquent la surface aura pour mesure irR*.

Le nombre tt peut donc être considéré sous un second point de vue. Il est le rapport de la surface du cercle au carré de son rayon. On s'est servi de l'une et de l'autre de ces manières de l'envisager, pour procéder à la recberche de sa valeur approchée.

COMPAHAISOII NES VOLUMES DES l'VBAMIDES.

39j. Après avoir ramené la comparaison des parallélépipèdes, ei ensuite des prismes quelconques, à la considération de l'égalité, les anciens géomètres se sont trouvés arrêtés pour la comparaison des pyramides, soit entre elles, soit avec les prismes. Ils ont été obliges, pour y parvenir, d'avoir recours ;ni im' iue procédé que pour les cercles, et d'envisager la pyramide comme limite de quantités d'espèce plus simple.

Euclide commence par démontrer que toute pyramide triangulaire peut être décomposée en deux prismes triangulaires équivalents, dont l'un a pour base le quart de celle de la pyramide, et pour hauteur la moitié de celle de la pyramide; et en outre de deux pyramides 'semblables à la

4^6 BCIBKCE DE L ÉTENDUE.

première, ayant leurs arêtes respectivement égales à la moitié de leurs correspondantes dans celle-ci. On reconnaît de plus immédiatement qu'une de ces pyramides est plus petite que l'un des prismes; de sorte que la somme des volumes des deux prismes est plus grande que ia moitié du volume de la pyramide proposée.

D'après cela, si l'on répète une construction analogue dans chacune des deux nouvelles pyramides, les quatre pyramides qui resteront après qu'on en aura enlevé les prismes, formeront une somme moindre que leur moitié : et en continuant ainsi, on voit, par un raisonnement déjà employé, que l'on peut pousser l'opération asseï loin pour que la somme des pyramides qui resteront après l'enlèvement successif de tous ces prismes, forme un volume moindre que tout volume donné, proposition qui dans notre langage s'énoncera ainsi :

Toute pyramide triangulaire peut être considérée comme la limite d'une somme de groupes de prismes triangulaires en nombre indéfini.

On se rappellera que ceux d'un même groupe sont égaun entre eux; que leur nombre est double de ceux du groupe précédent, et leurs arêtes moitié moindres : d'où il résulte que la somme des prismes d'un même groupe est le quart de celle du groupe précédent.

396. Deux pyramides de base équivalente cl de même hauteur sont équivalentes.

Pour comparer ces pyramides, Euclide commence par les considérer comme limites de sommes de prismes, au moyen de la décomposition que nous venons d'indiquer.

Or, ceux qui composent les divers groupes sont équivalents dans les deux pyramides, qui ont des bases équivalentes et des hauteurs égales. Car les prismes du premier ordre auront par suite des bases équivalentes et même hau-

cniFiTHE vu. 4 1 ?

leur, cl seront équivalents. La valeur du premier groupe étant la même dans les deux pyramides, celle du second qui en csl le quart sera la même de pari et d'autre, et ains! de suite indéfini mont. La somme d'un même nombre dégroupes sera donc la même îles deux ciités, à parlir du premier.

Ces deux sommes sont donc deux variables égales, ayant pour limites respectives les deux pyramides. Leurs limites (ml donc des valeiirs Ogalts . <••■ qu'il IVitLiil (.l<-m<iiiLrer.

397. Une pi rtiiniilt' frîmi^iiliiirn a pour mesure te tiers du produit de sa base par sa hauteur.

En s'appuyant sur la proposition précédente, Euclide démontre facilement que toute pyramide triangulaire est le tiers d'un prisme de même base cl même hauteur. D'où il suit que la mesure du volume de la pyramide est le tiers de celle du prisme, qui csl le produit de sa base par sa hauteur. De là résulte la proposition énoncée.

Et cela signifie que le rapport de ce volume au cube construit sur l'unité de longueur, csl le tiers du produit des deux nombres qui expriment respectivement les rapports, de la base au carré fait sur l'unité de longueur, et de la hauteur à cette dernière unité.

398. Autre solution, — La considération d'une pyramide, comme limite d'une série de groupes de prismes, a eu pour objet ici de comparer deux pyramides ; mais on peut la faire servir directement à la mesure même de la pyramide.

En effet, si l'on désigne par b et h les nombres qui mesurent sa base ci sa bailleur, chacun des deux premiers prismes aura pour mesure -g-i et la valeur du premier groupe sera ^ : les groupes formeront par conséquent la

4l8 SCIENCE DE L'ÉTENDUE.

M bh bh

C'est une progression géométrique dont Arcliiméde a donué la formule de la somme, ainsi que sa limite qui bh

est -j-

Or, dans le cas actuel, les variables sont la valeur de la somme des mesures des groupes, et la valeur de la somme des termes correspondants de la série, f.es limites du ces deux variables, toujours égales, devant filre égales, le volume de la pyramide aura pour mesure y

399. Troisième solution de. la même tju/ïstian. — Pour donner un exemple des différentes mnnièrcsdom une même grandeur peut être utilement considérée coDimo limite d'une variable, nous regarderons la pyramide comme limite, non plus de la somme des termes d'une série, mais d'une somme de quantités infiniment pelites, et nous ferons usage du procédé général qu'Archimède a fait cou- Sous couperons la pyramide par une suite de plans parallèles à la base, et divisant la hauteur en parties égales indéfiniment décroissantes. Nous considérons chacune des sections triangulaires comme la base d 7 un prisme avant ses arêtes parallèles à l'une de celles de la pyramide, dirigées vers le plan de la base, et terminées au plan parallclcvoisin; Ja somme de ces prismes sera moindre que la pyramide. En dirigeant les arêtes en sens contraire, on aurait une somme de prismes plus grande que la pyramide. Ces deux sommes se composeront des mêmes prismes, à l'exception du plus grand, qui sera l'excès de la somme des prismes extérieurs sur l'autre; cet excès sera un prisme ayant la base de la pyramide, et une hauteur égale à une des subdivisions de

la hauteur Je la pyramide. Il peut donc devenir moindre que lout volume donné, et par conséquent, à plus forte raison, la différence de chacune des sommes à la pyramide

ramide est donc la limite de l'une ou de l'autre' de ces

Il ne reste donc plus qu'à calculer la somme des volumes des prismes qui composent l'une desdeus, par exemple la plus grande, et en prendre la limite; ce sera la mesure de la limite de cette somme ou de la pyramide.

Soit m le nombre des divisions de la hauteur, a l'une d'elles, on aura

Suit n le nrimbrr des dji irions rimipi ise' entre li- nnmmct

df la pv ramide ei la bau inférieure de l'un quelconque des pri-mes, cette base sera mesurer par ^ et le volume du .(V .

prisme sera — -, : la somme dos prisme* en question sera Or Archiméde a démontré la formule suivante,

La somme des prismes sera donc