iu, en remplaçant a par
4ÏO SCIENCE DE l'ÉTEHDUE.
dont la limite est ^> qui sera par conséquent égale à la valeur delà limite de la somme des prismes, ou de la pyra-
400. Mesure du segment parabolique. — Archimède considère d'abord cette surface comme composée d'un triangle plus grand que la moitié, plus de deux segments dans lesquels il fait la même décomposition, et continue ainsi indéûniment; la somme de tous ces triangles aura pour limite l'aire du segment proposé. Or tous les triangles d'un même groupe forment une somme égale à ^ du précédent; ces groupes forment donc une progression ayant pour raison ^, dont on trouvera la somme et la limite de cette somme par la formule donnée par Archimède, à cette occasion même; et c'est ainsi qu'il a démontré que le segment parabolique est égal aux | du triangle ayant même base et même sommet que ee segment.
Ce grand géomètre a donné une autre solution de ce même problème, en considérant le segment cherché comme la limite d'une somme de trapèzes infiniment petits. Nous nous dispenserons de la rapporter ici.
401 . Volume du cylindre. — Dans ce cas, il n'est nécessaire de recourir ni aux séries ni aux infiniment petits. On reconnaît, en effet, immédiatement que ce volume est compris entre ceux de deux prismes qui auraient même hauteur que le cylindre et pour bases des polygones réguliers semblables, l'un inscrit, l'autre circonscrit au cercle de base du cylindre. Or ces prismes, ayant même hauteur, sont dans le même rapport que leurs bases, et le rapport de CCS bases est égal ii celui des rai-rés des i-nyons des cercles qui leur sonlinscrits, et a par conséquent pour limite l'unité,
a,.,,™. ,u. 43, quand Je nombre des cotés de ces polygones augmente indéfiniment. Le rapport des deux prismes a donc aussi pour limite l'unité, et, par conséquent, le rapport de l'un ou de l'autre au cylindre qui est compris entre eux a pour limite
Il est donc démontré que le volume du cyliudre est la limite du volume des prismes inscrits ou circonscrits. Or, ces prismes ont pour mesure le produit de leur base par leur hauteur. Le cylindre a donc pour mesure le produit de cette hauteur par la limite de ces hases, c'est-à-dire le produit du cercle qui lui sert de base par sa hauteur.
«2. Folume du cône. — On reconnaît avec la même facilité que le volume d'un c&nc est compris entre ceux de pyramides ayant mémo sommet que ce cône, et pour bases des polygones réguliers semblables inscrits cl circouscrils au cercle de base. Or, ces pyramides ont pour mesure le tiers de leur hauteur multiplié par leurs bases, qui ont pour limite commune la base du cône. 11 en résulte que le rapport de ces pyramides a pour limite l'unité, et que, par conséquent, il en est de même de leur rapport au cône compris entre elles.
Le cône est donc la limite des pyramides inscrites ou circonscrites, et, par conséquent, a pour mesure la limite de la mesure de ces pyramides, c'est-à-dire le tiers du produit de sa liauteur par sa base.
403. Le volume d'un tronc de cône à bases parallèles s'en déduit facilement, puisqu'il n'est autre chose que la différence de deux côues.
On peut aussi ramener sa détermination à celle du tronc de pyramide, eu remarquant qu'un cône est équivalent à une pyramide triangulaire de même hauteur et de base équivalente.
404. Surface du cylindre. — La aurfacedo prisme dont les bases sont des polygones inscrits dans celles du cylindre, et dont les côtés diminuent indéfiniment, a pour limite celle du cylindre; car tous les points du ses laces se rapprochent indélinimcnl des points de celte surface, el leurs directions de celles des plans tangents. Or, la somme de ces Taies a pour mesure le périmètre du polygone inscrit multiplié par la hauteur du cylindre. La surface convexe du cylindre aura doue pour mesure 1» limite de cette expression, ou le produit de la hauteur du cylindre par la circonférence de sa base.
403. On pourrait ramener la démonstration à la forme la plus ordinairement suivie, en faisant usage des principes d'Archimcdc que nous avons précédemment démontrés.
En effet, lasurfacc convesodu prisme inscrit est moindre que la surface convexe du cylindre augmentée des segments du cercle qui ont pour bases les côtés du polygone inscrit, puisque chaque face plane du prisme est moindre que la surface terminée à son contour, et composée de la partie sous-tendue du cylindre, et des deux segments adjacents.
El de même la surface du cylindre est plus petite que la surface d'un prisme ayant pour base un polygone circonscrit semblable à celui qui est inscrit, augmentée des segments compris cuire la circonférence du cercle cl les ' ôlés de ce polygone.
Ainsi, la surface du cylindre est plus grande que celle d'un prisme inscrit, diminuée d'une quantité dont la limite est zéro, et plus pelitc que celle d'un prisme circonscrit, augmentée d'une quantité dont la limite est zéro. Elle est donc la limite de l'une ou de l'antre de ces expressions dont la différence tend vers zéro, et est par conséquent la limite des surfaces des prismes inscrits ou circonscrits ; ce qui ramène au résultat déjà obtenu.
