CHAPITRE II

2îi. Addition. — On appelle ainsi l'opération qui a pour but de réunir plusieurs nombres en un seul qui soil égal à leur somme. Si l'on voulait ajoulcr successivement à l'un d'eux toutes les unités simples qui composent les autres, l'opération serait d'une longueur fastidieuse, et par suite sujette à beaucoup d'erreurs; mais la décomposition uniforme des nombres, et l'écriture si simple qui en a clé la conséquence, conduit, par une analyse bien naturelle, à une règle de pratique d'une très*grande brièveté.

En cfl'cl, le principe précédemment admis, que la somme de plusieurs nombres est indépendante de l'ordre dans lequel on ajoute leurs diverses parties, permet de ramener la question à une plus simple qui consisterait à ajouter entre elles toutes les unités de premier ordre, puis entre elles toutes les unités de second ordre , et ainsi de suite jusqu'aux plus élevées : et les opérations partielles auxquelles on est ainsi conduit, et qui sont en très-petit nombre, s'ellccluenl immédiatement, puisque tous les nombres à ajouter y sont aitdessous de dix. Mais cependant tout n'est pas lu», parce que la somme trouvée pour les unités dune même espèce peut dépasser neuf, et ne pourrait pas alors Être écrite au rang correspondant dans la somme. Ce qui se présente tout naturellement dans ce cas, c'est de les réunir en groupes de dis et d'ajouter aux unités immédiatement supérieures autant d'unités qu'il y a de ces groupes; il restera ainsi dans chaque ordre un nombre d'unités au-dessous de dix , et la somme se trouvera faite et écrite très-promplcmcnt. Et la règlcquï énonce leprocédcquc nous venons d'indiquer, est applicable à tous les nombres, c'est-à-dire qu'elle est générale.

26. Soustraction. — Cette opération a pour objet la détermination de ce qui reste d'un nombre quand on en retranche un autre, ou, en d'autres termes, de la différence de deux nombres donnés.

3o SCIENCE EBS NOMBBES.

Des remarques analogues à celles que nous avons faites pour l'addition, conduisent naturellement à retrancher, si cola so peut, les unités du divers ordres qui composent le plus petit nombre de leurs correspondantes dans le plus grand. Mais si le nombre des unités d'un certain ordre est plus grand dans le petit nombre que dans l'autre, on emploie un artifice irt's- simple fondé sur ce principe évident, que la différence de deux nombres n'est pas changée quand on les augmente également tous les deux. D'après cela, si le chiffre d'un certain ordre du. grand nombre est moindre que le correspondant du petit, ou l'augmente de dix des unités qu'il représente, qui en valent une de l'ordre suivant ; alors la soustraction des deux thi lires peut se faire,

ger la différence des deux nombres proposés, il faudra

pour l'exécution de 1 opération. F.t cri le règle est générale; car les raisonnements que nous venons de faire s'appliquent à tous les nombres.

27. Multiplication. — Cette opération a pour objet de trouver le résultat de la répétition d'un même nombre. Cette question se présente à chaque instant dans la vie ordinaire; par exemple, lorsque l'on veut connaître le prix d'un nombre donué> d'unités quand on connaît le prix d'une seule : il est évident que pour cela il faut répéter le nombre qui exprime le prix ih: l'unité- autant île fois qu'il ya d'unités.

On pourrait bien exécuter cette opération en ajoutant à lui-même le nombre qui doit être répété ; mais s'il doit Titre un très-grand nombre de fois, ce moyen serait d'une longueur rebutante, et par suite sujet h beaucoup d'erreurs; l'objet qu'on se propose est d'exécuter cette addition d'une manière abrégée.

i.a démonstration exacte de ci; procédé cl les applications de cette opération se tondent sur quelques théorèmes dont

nous dirons quelques mots, ni' tù[-cr que \y<mr faire Com-

do l' Arithmétique, des propositions générales, aussi bien qu'on le fera plus tard avec des moyens plus puissants.

28. Le premier de ces théorèmes consiste eu ce que, dans quelque ordre qu'on multiplie Jeu* jiumbi-es, ou a toujours

candi:, soit réellement répété autant de fois qu'il y a d'unilés dans le multiplicateur. Dans chacun de ces muliipii-

aurons ainsi un nombre égal au multiplicateur. Considérons-y de même une seconde unité, nous obtiendrons une seconde fois le multiplicateur. Continuons ainsi jusqu'à la dernière unité de tous les multiplicandes, nous obtiendrons une dernière fois le multiplicateur. Ce dernier se trouvera donc répété autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicande. F,l comme toutes les unités qui se trouvaient dans la somme des multiplicandes n'ont été prises chacune qu'une seule fois, et qu'aucune n'a été omise, nous concluons de là qu'on obtient le même nombre en répétant le multiplicateur autant de lui. 1 , qu'il y a il unités dans le multiplicande, qu'en répétant le multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur : ce qui est précisément le théorème énuncé. El il est démontré généralement, puisque nos raisonnements ont été faits sans parliculai'tser les deux nombres.

29. Dana cette démonstration nous n'avons désigné les qu'elle doit alors s'appliquer à tous les nombres qui se-

il SCIEKCE DES NOMBRES.

raient dans 1rs mimes conditions. Mais celte manière de procéder entraîne des longueurs dans le langage-, et rend plus difficiles à saisir les déductions dont les termes sont éloignés. Dans la question précédente, qui est fort simple, cet inconvénient n'est pas très-frappant; mais pour s'en faire une idée exacte, )I suffit de lire quelques démonstrations compliquées dans les ouvrages des plus grands géomètres de l'antiquité. Nous croyons donc utile de faire connaître un procédé plus simple, qui rend le langage plus rapide, sans nuire à la généralité des résultats. Il consiste à représenter les données par des nombres particuliers, en

bien à d'autres nombres qu'à ceux que l'on a choisis pour Cxer les idées et abréger le discours. Pour le faire comprendre par un exemple simple, nous l'appliquerons à la question même que nous venons de traiter.

En désignant par 79 et 48 les deux nombres à multiplier, nous nous proposons de démontrer que 70 répété 48 fois donne le même résultat que 48 répété jg fois; ou, en indiquant la multiplication par un point interposé entre les deux facteurs, que 79.48 est égal à 48.79.

Représentons-nous d'abord le premier produit formé de 48 nombres égaux à 79, cl prenons à chacun d'eux une première unité, nous en obtiendrons ainsi 48. Prenons-en une seconde à chacun, nous en aurons encore 48. Une troisième nous donnera une troisième fois 48; et enfin quand nous arriverons à la dernière, c'est-à-dire à la soixante-dix-neuvième unité, nous aurons une soixanledix-ncuvième fois 48. Donc toutes les unités qui sont dans 79 répété 48 fois équivalent à 48 répété 79 fois.

Or il n'est personne qui ne comprenne que la conclusion serait identique si l'on avait choisi deux autres nombres, et que ceux-ci n'ont été pris que pour la commodité du langage. On a donc aiusi la conviction pleine et entière de la