CHAPITRE II
faire connaître la valeur de l'une d'elles. La vie ordinaire en offre de fréquentes applications; par exemple lorsque, connaissant la valeur d'un cenaiu nombre d'unités, on veut connaître le pris d'une seule; ou lorsqu'on veut partager également une somme entre plusieurs personnes; ou, sachant le temps qu'on a mis ii parcourir un nombre connu de kilomètres, connaître le nombre qu'on en a parcouru dans l'unité de temps, elc.
Celte opération est l'inverse de la multiplication, puisqu'elle a pour but de trouver une quantité qui, répétée un certain nombre de fois, donne un produit connu. Le nombre à partager s'appelle dividende, le nombre des parties diviseur, et l'une des parties quotient.
Dans l'addition et la multiplication on s'occupait d'abord des unités de la plus faible espèce, parce qu'en s'accumulant elles pouvaient en fournir d'une espèce plus élevée, qu'on pouvait réunir avec les correspondantes et continuer ainsi jusqu'aux plus élevées. Cela était nécessaire aussi dans la soustraction, où l'on peut Être obligé d'ajouter ans deux nombres des unités d'ordre supérieur A celles que l'on considère successivement . Mais il en est autrement dans la division : il est utile de commencer la partage par les unités de la plus forte espèce, parce que s'il ne se fait pas exactement et qu'il rcM8 quelques-unes de ces unités, on peut les réduire avec les suivantes qui sont plus faibles, et continuer se m Maniement le partage de ces nouvelles unités jusqu'à ce que l'on parvienne aux plus faibles. Et il peut alors arriver deux cas : ou le partage sera possible exactement, ou il y aura un reste d'unités simples moindre que le diviseur. Dans le premier cas, le dividende sera le produit du quotient par le diviseur; dans le second, le dividende sera égal au produit de la partie entière du quotient par le diviseur, plus le reste obtenu.
Ce reste, comme le dividende lui-même, cal censé repré-
seiilcr des unités concrètes, c'est-à-dire d'une nature donnée; on peui se proposer de connaître la partie d'unité qu'il faudrait ajouter au nombre déjà obtenu pour avoir opéré le partage exact.
Si, par exemple, on devait diviser le nombre proposé en Bj parties égales et que le reste fût 39, il est évident que pour prendre le cinquante-septième de ce reste, il suffirait de diviser chacune de ses unités en 5? parties
égal
qui donnerait à ebaqu
e fois un cinqualite-sep-
tièm
cd'ur
lilé. On aurait donc ei
1 tout 29 cinquanlc-sep-
lièm
ci d'u
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nquante-septième de 39,
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détails de l'opération, et
Lraiiés élémentaires: ce
que :
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(vota dit suffit pour mo
ntrer dans quel esprit ils
doivent être présentés.
Remarque. — Lorsque l'opération ne donne pas de reste, le dividende, qui est toujours égal au produit du quotient par le diviseur, est alors aussi le produit du diviseur par le quotient, et par conséquent ce dernier exprime combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. C'est un second point de vue de la division, cl auquel même le résultat doit son nom.
Si l'opération donne un reste, la partie entière du quotient indiquera le plus grand nombre de fois que le diviseur sera contenu dans le dividende.
m VISIBILITÉ. WOHLRES FHEH1EHS. COMMUN DIVISEUR.
3i. Lorsqu'un nombre est contenu dans un autre un nombre entier de fois sans reste, ou dit qu'il est diviseur de cet autre.
Il est des nombres entiers qui n'ont d'autres diviseurs
ceiipithe il. 37 entiers qu'eus-mimes et l'unité : on les appelle nombres premiers.
Deux nombres qui ont ou n'ont pas de diviseurs entiers, mais qui n'en ont aucuh lie commun, si ce n'est l'unité,
sont dits premiers entre eux
3S. Du plus grand corni
nuit divise*
tr de deux nombres
entiers. — On appelle ainsi
le pins B r<
nd nombre contenu
exactement dans chacun de
ces deux 1
lombres. La règle à
laquelle on est conduit poi
tr l'obtenir
se iruuve dans Eu-
clide : elle se fonde sur cclt
3 proposait
Si l'on considère un tout décomposé en deux parties, toute quantité contenue exactement dans deux de ces trois quantités l'est exactement dans la troisième.
D'après cela, si l'on considère que dans toute division le dividende se compose du produit du diviseur par le quotient et du reste, on obtient les deux propositions suivantes :
Tout nombre contenu exaeteineat dans le dividende et le diviseur, l'est aussi dans le reste;
Tout nombre contenu exactement dans le diviseur et le reste, l'est dans le dividende.
D'où il suit que tous les diviseurs communs au dïvi-
viseur et au reste, sont identiquement les mimes : et, par conséquent, le plus grand d'un coté est le même que le plus grand de l'autre.
De là résulte la règle pour trouver le plus grand commun
En effet, si le plus petit divise exactement le plus grand, il sera le plus giand commun diviseur. S'il ; a un reste, le plus grand commun diviseur de ce reste et du diviseur sera celui des deux proposés; on divisera donc de mime le diviseur par le reste, puis ce reste par celui de la nouvelle di-
vision, jusqu'à ce qu'on arrive à
un reste nul ; lo diviseur
de la dernière opération est le no
nibie cherché.
Comme les restes sont entiers
nuant, ou en trouvera toujours u;
s sont premiers entre eux.
Remarque. — On reconnaît f;'
ti pliait les deux nombres propos
tous les restes, et par conséquent aussi le plus grand commun diviseur, le seront eux-mêmes.
36. Les propriétés dos nombres premiers absolus ou premiers entre eux sont très-importantes , mais nous nous écarterions do notre objet si nous en faisions l'objet d'une étude spéciale. Nous les admettrons comme connues quand nous aurons besoin d'eu faire usage.
DES FBACTIOKS.
37. Lorsque l'unité est partagée en parties égales, et qu'on en prend un certain nombre, on a ce qu'on appelle une fraction ordinaire; elle s'exprime par ces deux nombres et, comme nous l'avons déjà dit, peut être considérée comme le quotient de son numérateur par sou dcuomina-
Si le numérateur était plus grand que le dénominateur, on aurait plus que l'unité, et le mol fraction semble alors peu convenable; on le remplace quelquefois par l'expression de nombrr friictùiiiiitiiic.,<\m-\-\\\< \\-i\!. aussi on étend le sens du maljraction à la réunion d'un nombre quelconque de subdivisions de l'unité, pouvant former une quantité plus grando que l'unité.
Les fractions pourront s'ajouter entre elles et se retrancher en entendant par là que Ton cherche quelle fraction de l'unité concrète mesure la somme des fractions de;
cbàfitbh ii. 3g cène unité qui ont été ajoutées ou retranchées. C'est dons le même sens que nous avions déjà défini l'addition et la
deux opérations, dont la définition n'oll're ni difficulté, ni même aucune idée nouvelle, peinent s'Hl'ei tuer au moyeu des termes qui expriment ces dillérenlcs fractions.
H8. Addition cl soustraction des fractions. — Le but de ces opérations est de trouver sous la forme la plus simple l'expression numérique du résultat qu'elles donneraient si on les effectuait sur les parties mentes de la quantité donnée
Pour cela, on remarque d'abord qu'une fraction d'une quantité quelconque exprime toujours la même quantité absolue quand on multiplie on qu'on divise ses deux termes par un même nombre. On déduit de là un moyen de réduire toutes les fractions au même dénominateur sans changer la valeur qu'elles représentent. Cette réduction étant faite, elles expriment toutes des collections d'une même subdivision de la quantité proposée, et l'addition ou la soustraction s'opérera sur les nombres que ces collections respectives en renferment.
39. Multiplication et division des fractions. — On peut avoir à répéter une fraction un certain nombre de fois, et cela se fera évidemment en répétant son numérateur ce même nombre de fois, et conservant son dénominateur, qui exprime l'espèce des choses qu'on a à répéter; mais on ne peut prendre une fraction pour multiplicateur, d'après la
opération dans la répétition d'une même chose.
De même, la division d'une fraction par un nombre peut Être proposée, et on l'effectuera par la division du
la multiplication du dénominateur en conservant le iiuroé-
40 SCIEHCB DES KOWBHES. CHAPITRE II.
râleur; mais on ne peut se demander de diviser soit un nombre, soit une fraction, par une fraction; cela n'aurait pas de sens d'après la définition de la division. En elTet, cette opération, ayant pour objet de partager en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le diviseur, exige que ce demi ci* soit un nombre d'uni lés, et l'opération n'aurait pas de sens en prenant une fraction pour diviseur.
