CHAPITRE III

EXTENSION DE L'IDÉE DE NOMBRE. - RA1PONS ET CONSÉQUENCE DE CETTE EXTENSION.

-if). Nous avons attaché jusqu'ici au mot nombre la simple idée de pluralité, et les théorèmes que nous avons démontrés se rapportent exclusivement à cette notion. L'évaluation des grandeurs donne lieu le plus ordinairement h un nombre et à une fraction. Nous avons démontré quelques théorèmes sur les nombres, quelques aulrcs sur les fractions. Nous avons donné le moyen d'exécuter sur les nombres les opérations les plus simples et de l'usage le plus ordinaire : quelques-unes d'entre elles se sont appliquées aux fractions; quelques autres n'auraient eu dans ce cas aucun sens d'après les définitions qui en avaient été données.

(.a distinction <li's nombres et des fractions a des inconvénients plus graves que relie di'symçtric dan* les opéralions; elle introduit dans les [impositions générales mie complication qu'il est utile de faire disparaître. Pour ni ci 1er uu seul exemple, supposons qu Un \cuille énoncer une rèplc pour déterminer la valeur d'une qUunlilc r]liand ou connaît le prix de l'unité, on sera obligé de distinguer deux cas : celui où l'évaluation de la quantité aura donne lieu a un nombre, et celui où elle aura donné lieu eu outre à une fraction. Dans lu premier cas, on dira qu'il faut multiplier par ce nombre le prix de l'unité; dans le second, on dira qu'il faut d'abord multiplier ce prix par le nombre

4? SCIENCE DES RUHBSES.

des unités s'il y en a, et qu'ensuite il faut prendre une fraction du prix qui soil la même que lu fraction d'unité que renferme la quantité proposée.

Ce que nous présente cet exemple se produit dans une multitude d'autres circonstances, où la distinction du nombre et de la fraction a obligé à plusieurs énoncés pour la réponse à des questions où la demande n'en avait cependant qu'un seul.

C'est cet inconvénient qu'on a voulu faire disparaître en donnant, de l'extension à l'idée de nombre et en attachant ce nom au résultat de l'évaluation d'une grandeur, c'eat-à-diro de la comparaison de cette grandeur avec une autre de même espèce, soit que co résultat soil ce que nous avions d'abord appelé nombre, soit qu'il y ail en outre ou seulement une fraction de l'uniuî.

C'est là ce que dorénavant nous entendrons par un nombre, que l'usage veut encore qu'on appelle le rapport de la grandeur a l'unité, m [in'iiant le mot rnp/iurl dans un bchb restreint, que noui indiquons parce qu'il est usilé dans les Maillé ma tiques, quoiqu'on ait cherché 4 le remplacer par le mot i/uotient.

41. Cette nouvelle définition du nombre permettra de réunir en une seule plusieurs propositions qu'on était obligé d'énoncer séparément; il y aura donc généralisation el par suite simplification dans la science. Mais il y aura cet autre avantage, que cette généralisation a été la conséquence d'analogies reconnues entre des choses qui se présentaient d'abord comme dissemblable*) elle les ratiauhe par un lien commun ut constate un agrandissement dans les vues de l'esprit.

Mais ces avantages de la généralisation ne peuvent être acquis par la seule extension d'une définition ; il est indispensable de reprendre toutes les propositions établies

'Ùn I.Z'XI L'y COCÏ'.

chafitu m. 43

d'après la première conception et de les étudier d'après la nouvelle. Les unes pourront conserver leur énoncé, les autres demanda on 1 qu'il soit modifié; et quand cllei aur-

loppement de la science, en restant fidèle aux définitions modifiées, jusqu'à co que peut-être de nouveaux besoins demandent une nouvelle extension, pour laquelle on procédera d'après les mëmei principes.

42, Addition et soustraction. — Ces deux opérations considérées sur les nombres fractionnairei n'offrent rien de nouveau; elles rentrent dans ce que nous avons dit séparément pour les nombres ailiers cl pour les fractions.

Multiplication. — Comme on s'est proposé par l'extension de l'idée de nombre de renfermer plusieurs énoncés en un seul, il faut donner à la multiplication une définition qui permette d'énoncer d'une manière unique les solutions des questions qui conduisaient à une multiplication dans le cas des nombres entiers, et à d'autres opérations dans le cas des fractions. Ainsi, pour reprendre un exemple déjà cité, il faut pouvoir dire que le pris d'un nombre quelconque d'unités est égal au produit du prix de l'unité par

C'est pour obtenir celle généralisation, dans une multitude de cas différents de celui que nous avons choisi pour exemple, que l'on a étendu de la manière suivante la défi- An multiplication est une opération qui a pour but de composer un nmuhrr. uve.c h: imdti ' jilii.ialiir, de ht uténu:

43. Appliquons en effet cette définition à la question précédente et supposons qu'on veuille trouver la valeur d'une quaniilé composée de iS unités et 7 d'unité, sachant

que l'unité coûte y francs et - de franc. Comme il est évident que les i5 unités coulent i5 fois autant qu'une seule, cl que les ^ d'une unité valent les ^ du prix de celle unité, on en conclut que, la valeur totale se composant avec le prix de l'unilé comme t5 plus ^ se compose avec l'unité, il faut pour l'obtenir multiplier 7 1 par i5 j t cl généralement que le prix d'un nombre quelconque d'unités est égal an produit de la multiplication du nombre qui exprime ce prix par le nombre des unités.

U. On rendrait le langage plus commode en donnant de l'extension à un mol de noire langue qui, d'après son origine, ne semble pouvoir désigner qu'un nombre entier, et qu'on emploie cependant dans certaines circonstances pour représenter un nombre fractionnaire. Nous voulons parler du mot fois, qui a élé crée pour indiquer la répétition d'un même acte. El cependant il n'est personne qui n'ait employé le mot fois dans un sens fractionnaire, quand l'acte avait pour effet de produire une grandeur, el était de nature à pouvoir ne pas s'accomplir totalement, et à produire une fraction de celle grandeur. Si par exemple on a à porter nue certaine mesure sur une ligne droite, trois fois en entier, plus sa moitié, on dira communément qu'il faut la porter trois fois et demie; ou dit, sans craindre de ne pas être compris, qu'on a fait deux fois et demie le tour d'une promenade; nous dirions la même cbnse pour une fraction moins simple. Celte extension du mot fois ne serait donc pas une innovation trop étrange, et on en retirerait de nombreux avantages. En l'adoptant, la définition de la multiplication dans le sens lu plus général serait la suivante :

La multiplication est une opération qui a pour but tic