CHAPITRE III

prendre un nombre autant de fait qu'il est marqué par un

45. Voyons mai ti tenant à quelle règle on est conduit pour l'exécution de l'opération, et bornons-nous aux cas de deux fractions.

Soit à multiplier ^ par ~, c'est-à-dire, d'après la définition adoptée, soit proposé de prendre les ~ de • Cela se fera en en prenant d'abord le onzième, puis le répétant 8 fois. Le onzième s'obtiendra en multipliant le dénominateur par il, ce qui donnera — 1 et l'on prendra ce résultat 8 fois en multipliant le numérateur par 8, ce qui donnera ~~ 1 D'où se conclut celle règle, que pour multiplier deux expressions fractionnaires plut petites ou plus grandes que l'unité, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Extension des théorèmes. — Le produit de deux nombres entiers ne changeant pas quand on intervertit les facteurs, et le produit de deux fractions élont ramené aux produits de leurs termes respectifs, il s'ensuit que le produit de deux fractions ne change pas non plus quand on intervertit l'ordre de la multiplication.

Et il en serait de même pour un nombre quelconque de facteurs fractionnaires ou entiers.

46. Les autres théorèmes que nous avons démontrés sur les produits s'étendront semblable ment aux fractions. Ainsi, par exemple, nous avons vu que si l'on multiplie un nombre entier par le produit effectue de plusieurs autres, on aura le même résultat que si l'on multiplie ce nombre par le

SCIEKCE DES S 11 «un ES.

premier facteur du produit, puis lo résultat parle second facteur, et ainsi de suite.

Pour étendre ce théorème au cas des fractions, on représentera te multiplicande par une fraction, par exemple

méraleurs entre eux, ainsi que les dénominateurs, ce qui donne, d'après les n°" 30 et 31 ,

or, c'est précisément cela qu'on trouvera eu faisant les

est dont démontré. L 'extension des autres théorèmes se ferait de la même manière.

il. De la division. — Celte opération ne pourra plus être considérée comme ayant pour but de partager le dividende en autant de parties épies qu'il y a d'unités dans le diviseur. Mais l'un des points de vue que nous avions indiqués dans le cas des nombres entiers peut être conservé pour les nombres quelconques, et la définition générale

La division a pour but de trouver un nombre qui, muitiptk 1 par !i- ilîvkftir, reproduise le dividende.

Cette définition est applicable aux nombres fraclionaires comme aux nombres entiers, et servira A généraliser les propositions démontrées pour ces derniers. 11 est inutile

de répéter qu'elles auront toujours besoin d'une démonstration nouvelle, pour tire étendues aux cas nouveaux déterminés par les définitions nouvelles.

Ainsi , par exemple, si l'on veut connaître !e nombre de kilomètres parcourus dans l'unité de temps, sachant combien il en a éié parcouru dans ui> nombre quelconque, entier ou fractionnaire, d'unité* de temps, il suflira de se rappeler qu'en multipliant le nombre que lconque du kilomètres parcourus dans l'uni lé de lumps par le nombre des unités de temps, on a l'espace parcouru dans ce temps. Si donc on runn.iit le nnmlire qui exprime cet espace et relui qui exprime le tenir*, le nombre cherché surs tel, que, multiplié par ce dernier, il reproduira le premier. On peut donc dire qu'en divisant le nombre des kilomètres parcourus par le nombre des unités de temps correspondant, on aura le nombre de kilomètres parcourus dans l'unité de temps.

La règle est donc la même quels que soient les nombres.

De même, si on veut connaître le prix d'une unité connaissant le prix d'un nombre quelconque d'unités, on se rappellera que le prix de ce nombre entier ou fractionnaire d'unités est la produit du prix de l'unité par le nombre des unités; donc le prix de l'unité est, comme dans le cas de nombres entiers, le quotient de la division du prix total par le nombre des unités. On raisonnerait de la même manière pour tous les genres de question! qu'on aurait traitées avant l'extension de la définition de la division. Voyons maintenant comment s'eilèctuera l'opération.

48. Soit à diviser un nombre entier ou fractionnaire par~', le quotient doit être tel, que, multiplié par-^-» il donne le dividende. Ce dernier nombre est donc les — du quotient. On aura doue du quotient en prenant le sixième du dividende, et le quotient même en prenant 1 1 fois