CHAPITRE IV. 5l
II est encore évident que celle conclusion s'applique à la division des deux termes par un même nombre quelconque, puisque la division par une fraction est la multiplication par la fraction rcuversce.
Nous pouvons donc maintenant énoncer celte proposition générale :
La valeur d'une fraction à ternies quelconques ne change pas quand on multiplie ou qu'on divise ses deux ternies par un même nombre quelconque.
On voit que celte proposition donne le moyen de réduire au même dénominateur un nombre quelconque de fraclions à termes quelconques, entiers ou fractionnaires.
52. Avant de nous occuper des différentes opérations sur ces nouvelles fractions, nous ferons quelques remarques très-simples, mais très-générales et très-utiles.
53. Remarques. — Nous avons déjà eu l'occasion de faire remarquer que si une quantité était décomposée en plusieurs parties, el qu'on répétai nn même nombre de fois chacune d'elles, la quantité elle-même était répétée ce même nombre fois. Il résulte immédiatement de là que si on divise par uu même nombre entier les différentes parties d'un tout, on a divisé ce tout par ce même nombre. Si, par exemple, on prend le septième de chaque partie, on aura en li;s ajoutant une quantité qui, répétée sept fois, reproduira la première somme ou la quantité proposée; elle eu était donc le septième.
Enfin, il est évident que si on prend une même fraction de chacune des parties d'une quantité, on a pris cette même fraction de la quantité.
Si, par exemple, on a pris les - de chaque partie, c'ettà-dire le septième répété 5 fois, il suit de ce qui précède qu'en prenant d'abord le septième de toutes les parties, on
a le septième de la quantité proposée; répétant ensuite 5 fois les nouvelles parties, ou aura répété 5 fois leur somme, qui est le septième de la quantité proposée; 011 aura doue les - de cette quantité en prenant les - de chacune de ses parties.
Il est facile de reconnaître que ce que nous venons de démontrer pour la somme est vrai pour la différence de deux quantités. Car la plus grande étant égale à la plus
petite ajoutée n cette dill'érenec, les ^dc la grande sont égaux aux - de la petite, plus les - de la différence. Doue
les - de la grande, moins les - de la petite, sont les - de la
il i lié rente, ce qu'il fallait démontrer.
On peut donc énoncer celle proposition générale :
Si on prend une même fraction quelconque de plusieurs
quantités ajoutées ou retranchées les unes des antres, on
a pris la même frm lion /le la i/uaiilité ipii serait la résultat
de ces additions et soustractions.
Si. Addition.— Si l'on a à ajouter des fractions à termes quelconques qui n'aient pas le même dénominateur, on les y réduira, comme nous l'avons démontré, par le même procédé que si les termes étaient entiers, et par conséquent nous pouvons supposer que les fractions à ajouter aient le même dénominateur fractionnaire. Or, nous allons démontrer qu'il faut suivre la même règle que pour les fractions à tenues entiers, c'est-à-dire njoulei- 1rs [iiiméralcurs
Supposons, en cllct, pour la commodité du langage, que le dénominateur soit, par exemple, ~; chaque fraction étant le quotient do la division de son numérateur par ~ sera
donc telle que, multipliée par—j elle produira son numérateur. Mais chaque numérateur étant les ~ de la fraction
correspondante, leur somme sera les ~ de la somme des fractions; cette somme sera donc le quotient de la division de la somme des numérateurs par— ■
Donc, pour avoir la somme de fractions ayant un mémo dénominateur fractionnaire, il faut faire la somma dis numérateurs et lui donner le dénominateur commun.
55. Soustraction. — Les dinx I raclions étant réduites au même dénominateur fractionnaire, il faudra encore retrancher les numérateurs et donner au reste le dénominateur commun.
La démonstration se fera comme pour l'addition, parce que le théorème sur lequel nous nous sommes appuyé a lieu, comme nous l'avons fait voir, pour des quantités ajoutées ou retranchées les unes des autres. Nous nous dispenserons de la reproduire.
5G. Multiplication. — Considérons de suite le cas le plus compliqué, qui renferme tous les attires comme cas particuliers.
Soient, par exemple, les deux fractions ^ et
Nous ne prenons des nombres particuliers que pour abréger le langage, qu'il serait presque ini possible de suivre
manière dont ils entrent dans les données. Mais il n'y aura aucun inconvénient à cela, parce que tous les nombres que
54 scteses Dr.s sombres.
nous avons choisis, étant difl'érents les un» des autres, ne pourront être confondus *i mm* nu faison» i| n'indiquer les opérations à effectuer sur eui; et la manière dont ils entre' ront dans les résultats serait la même que pour d autres nombres queleouques sur lesquels on ferait les mômes raisonnements. Les rond Osions qu'on en tirera seront ilnne. générales.
Cotte observation, que nom avons déjà faite ;> l'occasion de questions, précédemment traitées, s'appliquera à toutes celles dont nous allons nous occuper, et nous nous dispenserons de la reproduire h chaque fois.
Pour ramener la question proposée à une question connue, réduisons les fractions données à la forme de fractions simples; elles deviendront et cl ' e produit demandé sera
S.Vg.b '
Or c'est précisément là ce que l'on trouverait en multipliant entre eui les numérateurs des deux premières, ainsi que leurs dénominateurs ; car on trouverait ainsi
La règle pour la multiplication des fractions simples s'applique donc aux fracliona quelconques.
