CHAPITRE XIV. 1 I

celle de- négatifs dans A ou 13, ou même dans ions les deux ; il pourrait même irriver fîtic la somme des termes négatifs fût supérieure A celle des termes positifs. Dans le premier cas, A ou li seraient ïcro; dans le second, après avoir olé de l'ensemble des termes positifs un nombre égal, il resterait l'indication de la soustraction d'un nombre de rien, par exemple — 5. Quelles conséquences doit-on tirer des formes singulières que prend la formule (a) et qui sont représentées, les premières par

les secondes par

où nous désignons par M, N les nombres équivalents n l'excès de la somme la plus grande sur la plus petite, quelle que soit celle qui l'emporte dans A ou B? jVous allons examiner successivement touies ces formes.

! 11. V»i- ■! ' I " - - ; i ■ i !■■:■■ -u\ que lorsqu'une

proposition déduite d'autres propositions présente dans certains cas pnriirulicrs quoique rhosn d'obscur e! quelquefois même d'inintelligible, ce n'est pas cei elle-même qu'il faul l'étudier, ei c'est malheureusement oc que l'on fait trop souvent. C'est aux propositions précédentes qu'il faut remonter; il faut examiner ce qu'elles deviennent dans ce cas particulier et quelles conséquences elles peuvent donner alors. Sans doute, il aurait mieux valu tout prévoir avant de tirer la conséquence générale, et alors rîen n'aurait plus embarrassé ; mais si on ne l'a pas fait d'abord, il faut le faire quand le besoin s'en fait sentir; et c'est ainsi que nous allons éclaircir [ont ce que les six expressions précédentes peuvent présenter de singulier.

i» Si dans l'équation (i) B se trouve égal à zéro, x doit

Ilfi SC1EHCE DES nOUBBES.

èlre tel, que multiplié par un nombre il donne un produit mil; il est cloue nul lui-même. La forme - indique- done

a" Si A — o seulement, les termes en x se détruisent dans (i) ; et B n'étant pas nul, l'équation est impossible. La forme — annonce donc l'impossibilité de satisfaire à l'équation, et par suite à la question dont elle était la conséquence .

3 U Si on a à la fois A = o. Il = o, tous les termes se détruisent, quelque valeur qu'on suppose à x, et l'équation (i) sera toujours satisfaite; la forme -? que donne dans ce cas la formule générale de x, annonce donc une indétermination complète. Tous les nombres conviennent à la question.

4° Si, en effectuant les additions et les soustractions dans Ad B.OIl trouve qu'elles sont possibles dans l'on, mais impossibles dans l'autre, parce qu'il resterait l'indication d'une soustraction à effectuer quand il ne resterait plus l ien , (Tint il n : sn!iiT;i![ qu'en faisant passrr [mis les tenues dans un même membre la somme de deux quantités devrait être nulle, tandis que l'une des deux au moins ne l'est pas, il n'y a donc aucun nombre qui satisfasse à l'équation (i), et si elle est une conséquence nécessaire de la question, celle-ci ne peut non plus être satisfaite par aucun nombre.

5° Enlîn, si les deux expressions A et lî sont négatives, c'est-à-dire si les soustractions sont impossibles dans l'une cl l'autre, cela annonce seulement que dans l'ignorance où l'eu» était des valeurs que devaient prendre dans ee cas particulier les lettres qui se trouvaient dans ces deux expressions, on a choisi les membres qui ne convenaient pas, pour y faire passer respectivement les termes connus et les ter-

<ie membre d'une manière inverse:, les signes du tous k-s termes seront changés; les soustractions seront donc possibles et donneront pour reste l'escès qu'on trouvait affecté du signe — . On trouvera donc

d'où l'on lire celle conséquence, qui! lorsque la formule générale de l'inconnue donnera pour ses deux termes des nombres affectés du signe — , il faudra tout simplement supprimer ces deux signes, et on aura la solution de la question.

Mais il faut bien se garder de dire que c'est d'après la règle des signes démontrée dans la division dos polynômes qu'il faut chercher le signe du quotient de deux quantités négatives : ce seraient des mots qui n'auraient aucun sens. On a reconnu dans la division que quand les termes de degré le plus élevé dans le dividende et le diviseur étaient affectés du signe — , ils faisaient connaître un terme ayant le signe -I- dans le- quotient; et c'eût été improprement qu'on aurait appelé cela diviser deux quantités négatives l'une par l'autre. De même, dans le cas actuel, nous reconnaissons que quand la formule générale de .r conduit à l'indication insignifiante d'une division dont les deux termes sont négatifs, on aura le vrai résultat en divisant simplemême pas, comme dans la division, que le quotient doit être affecté du signe +; car, que voudrait-on dire en mettant le signe + devant un nombre qui n'est ajouté ù aucun

SC1EHCH DES HOMBRRS.

ÉQU1TIOBS DU PREMIER DFGFIÉ A PLUSIEURS I»COKKEES.

{Vii. Comme cet ouvrage; n'est pas un train:, ci qu'il n'a pour objet que l'étude des méthode», l'enchaînement des théories et l'esprit des diverses conceptions qui s'y introduisent, nous nous bornerons à la considération des équations à deux inconnues. La complication qui résulterait d'un plus grand nombre d'inconnues n'ajouterait rien aux idées générales que nous uous proposons de présenter ici, et ne pourrait par conséquent que leur faire perdre de leur

On reconnaît d'abord que si l'on n'avait qu'une seule équation entre deux inconnues x, y, le problème serait indéterminé; car si on menait au lieu d'une de ces deux lettres au nombre arbitraire, il resterait à satisfaire n une équation à une seule inconnue, cl l'on rentrerait dat» la question précédente.

Supposons donc qu'il y ait deux .équations entre x et y, et prenons d'abord un cas particulier, par exemple celui des deux équations

La question est de trouver deux

s à la place de a: el )-, Li-

dent les premiers membres vt!;n

re aux seconds.

Si l'on pouvait déduire des

équations (t) et (a) une

équation où il n'y aura que l'i

détermination serait facile, puis

question précédente. Or, on y p.

îrviendra en observant que

si on connaissait la valeur de x

et qu'on la substituât dans

les équations (i) cl (a), elles dev

raient être satisfaites par la

csiBina xit. ujf valeur cherchée doj-, et parconséquenl si on tirait de l'une des deux la valeur dey et qu'on la remit au lieu dey dans l'autre, cette dernière devrait aussi être satisfaite; mais en faisant cette même opératiou sans connaître a;, on obtiendra non une équation satisfaite, maïs une équation à satisfaire, et qui ne renfermera plus que l'inconnue x, ce qui est précisément ce que l'on avait eu vue.

Tirant donc, par exemple, la valeur de y de l'équation (a), noua obtiendrons

et la reportant dans (i}, nous aurons

et il est facile de voir que le système des deux équations (3), (4), qui se déduit des proposées (■}, (a), les entraine réciproquement. En effet, si (■)) est satisfaite par des valeurs de x et j, en chassant le dénominateur 3, et changeant les termes de membres, on retombe sur l'équation ( % ) qui sera par conséquent satisfaite par ces mêmes valeurs; et l'équation (î) sera aussi satisfaite par les nombres qui satisfont à (3) et (4), puisqu'en y mettant d'abord pour y

la valeur —g—i qui satisfait a (3), elle devient précisément (4) ; (t) est donc satisfaite parles nombres qui satisfont à (3) et (4).

El par conséquent il y a réciprocité entre les deux systèmes d'équations (i), (a) et (3), (4).

La question est donc ramenée à la résolution des deux équations (3), (4). La dernière, traitée suivant les règles données pour les équations à une seule inconnue, conduit à

1ÎO " SCIENCE DKS H0M1IRF-S. — CÏUPtTBE XLV.

ci par suite (3 ) donnera

Ces valeurs étant lessolutions uniques du système (3), (4) seront aussi les animions uniques dos équations proposées.

El comme nos raisonnements sont indépendants des nombres particuliers, et même des signes des termes, nous pouvons établir la règle suivante :

a Pour résoudre deux équations du premier degré à Jeux inconnues, il faut tirer de l'une la valeur de l'une des inconnues comme si l'autre était connue; substituer dans l'autre équation celle expression à la place de l'ineon nue qu'elle représente; résoudre l'équation à une seule inconnue qui en résulte, puis reporter la valeur de celte dernière inconnue dans l'expression obtenue pour l'autre, dont on aura ainsi la valeur. »

Cette mélbode est applicable à tous les cas particuliers, mais il est utile de renfermer tous ces cas dans des formules générales, et c'est ce que nous allons faire en nous bornant encore au système de deux équations.