CHAPITRE XV

FORMULES GÉNÉRALES POljll LES DIVERS CAS QUE PRÉSENTENT LES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRE A DEUX INCONNUES.

MG. Nous avons donné un moyen d'obtenir des résultais indépendants des valeurs numériques des données des questions d'espèce ([ueleonc|tie. Ce moyeu consiste à représenter ces données par des lettres, et à suivre la même marene que pour une question particulière de même espèce. Nous devrons donc dans le cas actuel représenter par des lettres les coefficients des inconnues x et y, ainsi que les termes tout connus, et appliquer la règle de résolution que nous venons d'indiquer.

Nous généraliserons ainsi sous le rapport des nombres; mais comme les équations comportent diverses combinaisons pour les signes des termes, il sera nécessaire d'avoir les formules générales des inconnues x et J, pour les divers systèmes d'équations correspondants à ces différentes combinaisons de signes, réduites au plus petit nombre possible.

ÎSous pouvons toujours faire passer les termes tout connus dans un même membre où les soustractions soient possibles, de sorte qu'il n'y a lieu de considérer que les diverses combinaisons de signes des membres qui renferment x et j, et dont encore on pourrait omettre celles où toutes les soustractions sont impossibles dans les premiers membres. Chacun de ces derniers donnerait ainsi trois combinaisons possibles de termes positifs et négatifs, qui pour-

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laa SCIENCE DES HOHBBES.

raient fore, considérées successivement avec toutes celles de l'autre. Il faudrait considérer ces neuf cas séparément, si on voulait distinguer la première équation de la seconde; sans quoi il y en aurait quelques-uns qui rentreraient les uns dans les autres.

Nous allons chercher les formules qui se rapportent à quelques-unes de ces combinaisons de signes.

i" Considérons d'abord le cas le plus simple et le plus facile à retenir, celui où tous les termes sont positifs; et soient les deux équations

Eu tirant la valeur de y de la première, et la reportant dans la seconde, on obtient

et il estfseilede voir que le système des équations (i) et (a) est équivalent à celui des deux suivantes,

a x + bx ~ c,

D'abord ce dernier, étant conséquence lin premier, sera satisfait par les valeurs de x et y qui satisfont au premier.

En second lieu, supposons que certaines valeurs mises pour x et y satisfassent à (i) et (3) ; il s'ensuivra d'après (t)

que - — sera égal à la valeur mise pour y, cl par conséquent (3) apprend que, pour les valeurs substituées, la somme a'x + b'y est égale à c', comme l'exige l'équation (a). Donc le système des valeurs substituées à x et y

dans ([} et (3) satisfera aussi aux équations proposées (i)

et (,).

Ce raisonnement que nous venons de faire avec beaucoup de détail se représentera souvent, cl nous ne le reproduirons que très-succinctement.

Maintenant il est facile de trouver les valeurs de X et y qui satisfont à (i) et (3), puisque celle dernière ne renferme qu'une inconnue.

Elle donnera facilement

eila reportant dans (i), on trouvera ac'—ca'

Telles sont les formules des valeurs de * et y qui résolvent le système (i) et {a}, quelles que soient les valeurs des données n, b, c, a', b\ c'. El nous devons dire qu'on pourrait aussi bien les écrire en changeant le sens des soustractions à leurs numérateurs et dénominateurs, parce qu'on ne sait pas de quel Côté faire passer les termes tanl que les coefficients restent généraux. Nous avons vu comment il fallait Iraitcr la forme singulière qui pouvait en résulter dans les cas particuliers.

Prenons maintenant la combinaison suivante des signes H- et — ,

(6) 0 *-ij = e ,