L.i 1 1 : : J Lv Ci

employée, ayant procédé par des déductions ou réductions que l'on a dû comprendre à mesure qu'on les a faites, soit qu'on les ait écrites en langage ordinaire, ou avec les formes qu'on appelle ordinairement algébriques, c'est-à-dire avec ta notation dont on est convenu pour généraliser, il n'a dû s'introduire rien do mystérieux. Les formes bizarres auxquelles le raisonnement arrive quelquefois à la fin, ont été créées par lui sans qu'il s'en doutât, et il se eroit obligé d'expliquer leur existence, qu'il admet comme incontestable, et dont il veut se rendre compte à priori. Ces aberrations ne sont pas rares, et les quantités négatives et imaginaires en offrent de nombreux exemples.

Nous pensons qu'un esprit simple, mais rigoureux, qui n'avancera jamais qu'en se rendant bien compte de la déduction ou de la réduction par laquelle il passe, n'éprouvera aucune de ces surprises qui causent quelquefois tant de tourment. Il pourra marcher plus lentement, s'arrêter mùmc quand un plus aventureux passera outre) mais il échappera à tomes les obscurités dont l'autre se trouvera longtemps peut-être embarrassé.

Ce n'est pas toutefois que nous repoussions une hardiesse allant mime quelquefois jusqu'à la témérité: ou ne découvre pas toujours sans s'exposer à l'erreur ; mais on doit savoir qu'on s'y expose, et prendre toutes les précautions, faire toutes les réserves, pour bien assurer ce que l'on aura trouvé en se relâchant de la sévérité des méthodes.

VALEURS NÉGATIVES DES INCONNUES HUÉES d'ëQUITIONS OU rnEMlEB DHGHË.

136. Nous avons expliqué comment la résolution de" plusieurs équations du premier degré, renfermant un nombre égal d'inconnues, se ramenait définitivement n

1^6 SCIENCE DBS XOMBXES,

una équation du premier degré à une seule inconnue. Celte dernière se met facilement sous la forme

et si les soustractions sont possibles dans A et B, ou, ce qui revient au même parla transposition des membres, si elles sont impossibles dans les deux, cette équation est satisfaite par la valeur unique

et il n'y a lien à aucune difficulté.

Mais si les soustractions sont possibles dans l'une des expressions A, Bel impossibles dans l'antre, aucun nombre ne lient satisfaire à l'équation, comme nous l'avons déjà dit précédemment.

Seulement on doit noter avec soin ce fait, que les valeurs trouvées sous celte forme satisferont aux équations qui y ont couduit, si l'on effectue sur elles toutes les opérations suivant les règles des signes démontrées dans le cas des polynômes.

En effet, si on remplace x par — dans l'équation {a), on a l'identité

Si on multiplie les deux membres par A positil ou négatif, eomme s'ils représentaient quelque cliose, on aura

c'est-à-dire que l'équation (t) sera identique eu rempla-

ëmc, en remontant ans équations précédentes en : a qu'elles sont satisfaites parcelle substitution, c

eiTecfuanl toujours les opérations de la manière entendue. En continuant a remonter aux équations qui ont donné les valeurs des antres inconnues y, ï,. . . , au moyen de X ou de y et X, et ainsi de suite, on reconnaîtra que les deux membres de chacune sont rendus identiques par les substitutions des valeurs positives ou négatives obtenues pour toutes les i ncoimnes qui y entrent. D'où il résultera enfin que le système des équations proposées deviendra de même une suite d'identités par ces substitut ion » ainsi entendues.

Cette constatation n'offrant aucune des difficultés qne nous voulons prévenir, nous n'y insistons pas avec autant de détail qu'on le fera dans nn enseignement classique. Il nous suffit d'avoir nettement indiqué le sens dans lequel notre proposition doit être entendue, et la marene qui en donnera sans peine la démonstration.

n'Stl PHOVIEHNENT LES BOLUTIQH8 NÉGATIVES DBS R^UATlOflS

nu ruEHiEn oegré.

137- Si les conditions d'un problème sont incompatibles entre elle», et qu'en ne s'en aperçoive pas en le mettant en équation, il peut arriver que la résolution de cette équation conduise à. des soustractions impossibles. Si l'on s'est assuré que les équations sont bien des conséquences des conditions données, il n'y a pas autre chose à conclure que l'impossibilité de la question j et quant au fait que la valeur négative satisfait, comme nous l'avons dit, à l'équation, il ne peut modifier en rien celte conclusion, puisqu'il est le résultat d'opérations qui n'ont pas de sens par ellesmêmes.

douteuses, et que pour mettre en équation on ait choisi celles qui ne conviennent pas, l'impossibilité trouvée peut

li& SCIENCE DES HOIIBRES.

annoncer seulement qu'où a mal choisi. Ou devra alors essayer si la question peut Être résolue eu prenant les conditions de l'autre manière; et si elle ne l'était pas encore, la question proposée serait absolument impossible.

138. Quand on a (ait le calcul pour la résolution de la question, d'après celle (Ici hvpolhcscs que l'on a choisie au hasard, il peut arriver qu'on n'aitpas besoin de la recommencer dans la seconde, et que le résultat du premier calcul permette de déterminer immédiatement celui du secoud.

Par exemple, si dans l'énoncé des conditions on laisse incertain si une quantité inconnue doit Être ajoutée ou retranebée d'une certaine autre, et qu'on ait choisi l'hypothèse de 1 addition, il csL facile de reconnaître que, si dans les deux cas on a les mêmes opérations à faire, les résultats ne différeront de part cl d'autre que par le changement de signe des termes qui renfermeront l'inconnue. D'où il suit que si l'une des hypothèses conduit à une équation dont les deux membres soient de signes contraires, l'autre conduira à une équation qui ne différera de la première qu'en ce que ces deux membres auront les mêmes signes.

On voit donc que quand on se sera assuré, dès le commencement, de la similitude des opérations, il suffira toujours de faire le calcul dans une seule hypothèse. Car si on a choisi la vraie, on onLicnt la solution de la question proposée, et il n'y eu a pas d'autre à chercher ; et si on a choisi la fausse, on qn sera averti par la solution négative; et cette dernière sera lout aussi utile que l'autre, puisqu'on sait qu'elle lui devient identique en supprimant le. signe — .

139. Le cas que nous venons de supposer se présente très-souvent, et no peut offrir aucune diflicultéà celui qui

s'est rendu compte, dès lu commencement, do l'a mlii guindés conditions, qui n'est pas toujours explicitement indiquée. Quant à celui qui a mal étudié ces conditions, l'avertissement qu'il reçoit à h fin, le portera à remontera l'origine, et la difficulté disparaîtra.

141). Pour en donner un evcmple bien simple, supposons qu'on demande à quelle époque les âges de deux' personnes, qui sont aujourd'hui a et b, sont dans le rapport demi». '

Il y a ici deux hypothèses à faire ; ou que cette époque soit dans l'avenir, ou qu'elle soit dans le passé. Dans la première^ si on désigne par x la distance de l'époque au moment présent, les deux âges seront devenus a -\-x et i + ar; difns la seconde, ils seront exprimés par a — x et b — x. La condition qu'ils doivent remplir s'exprimera donc dans le premier cas par

et dans le second par

Ces deux équations ne différant que par le signe des termes en X, si l'une est satisfaite par tin nombre substitué 4 x, l'autre ne le sera pas; et si l'une ph satisfaite par — un nombre, l'autre le sera par ce nombre même. 11 suffit donc de faire te calcul pour une seule, par exemple pour l'équation (i). Si elle donne pour x un nombre absolu, cela apprendra que l'époque cherchée est dans l'avenir, et on connaîtra sa distance au moment présent. Si, au contraire, on trouve pour x, — un nombre, cela apprendra que l'époque cherchée est dans le passe, et la valeur absolue du nombre négatif trouvé, sera la distance de celte époque au

'5<> SCIENCE t)«S MÛMBHES.

moment présent, La valeur de x tirée de(i) sera

r __ an - ml

Si les deux termes de cette fraction sont de mimes signes, lepoque sera dans l'avenir. S'ils sont de signes contraires, eile sera dans le passé.

Appliquons ce calcul au cas où les deux âges seraient S ei 7, et le rapport demandé celui de 9 a t3.

La formule donnera, dans ce cas,

Ce résultat apprend donc que l'époque est antérieure de. à l'époque actuelle.

Et, eu effet,

comme cela devait être.

141. On doit conclure de ce qui précède que c'est par l'étude approfondie dos conditions de la question, qu'il faut tâcher de prévoir les différentes circonstances que les solutions pourront offrir, ei alors toute difficulté est impossible. Si I on n'a pu y réussir complètement, le résullat imprévu auquel on arrivera, obligera à faire après ce qu'il aurait mieux valu faire avant.

Le point que nous traitons ici étant de la plus lauto iw T partance, et devant se généraliser beaucoup parla suite, nous allons résoudre, avec tous les développements qu'elle comporte, une question que l'ou traite avec soin dans tous

CJ1ÀPITS.B SV1I1. l5l

les cours élémentaire*, el dont on se tut pour l'explication des solutions négatives de» problème!.

PnOBLÊUE GÉBÉnAL DE LA «EMCOICTSB DB DEUX MOBILES,

142. Lorsqu'un point se meut uniformément sur une ligne indéfinie, et depuis un temps indéfini, ou pourra déterminer sa position à une époque quelconque dans le passé ou l'avenir, si l'on connaît sa position à une époque connue, le sens dans lequel il se meut, et sa vitesse, c'est-àdire l'espace constant qu'il parcourt dans une unité de temps.

Si on a des données analogues pour un second mobile, son mouvement sera de même entièrement déterminé. Le point de leur rencontre le sera donc aussi, ainsi que toutes les circonstances de leur mouvement relatif.

Mais la solution d'une quelconque des questions qu'on peut se proposer à ce sujet, par exemple îeelle de la rencontre des mobiles, est susceptible d'un. grand nombre de cas différents, donnant lieu à des calculs analogues, mais non identiques.

Ces divers cas seront déterminés par la position des deux mobiles à l'époque donnée, par le sens de leurs mouvements, qui peut être le même ou contraire, enfin par 1b grandeur de leurs vitesses respectives. L'époque de leur rencontre peut être dans le passé ou dans l'avenir, et la position de ce point peut être située de différentes manières par rapport aux positions primitives données.

Sans l'aire le dénombrement complet de toutes les combinaisons des données, qui conduisent h des calculs différents, on juge facilement de la peine qu'il faudrait prendre pour avoir les solutions de tous ces cas divers, qui par leur réunion formeraient la solution complète du problème

l53 SCIENCE UM M1MDUKS.

On comprend ainsi combien il serait important de réunir en une seule formule toutes celles qui sont nécessaires pour la détermination du mouvement d'un seul mobile, dans les divers cas possibles. Car le mouvement de chacun d'eux étant déterminé par une seule formule, on n'aurait plus qu'un seul calcul à faire, el le résultat qu'il donnerait renfermerait les solutions de tous les cas que l'on était obligé de traiter séparément,

L'avantage que nous procurerait cette généralisation, doit nous porter à chercher les moyens d'y parvenir; et c'est ce que nous allons faire avec tous les développements que demande une si importante question.

ÉQUATION BU MOUVEMENT UNIFOI1ME d'uM POINT.

143. Soit A la position d'un mobile à une époque connue, à partir de laquelle nous compterons le temps (fig. i).

Supposons que le mobile se meuve dans le sens AX avec une vitesse e; désignons par x la distance AM du mobile à un point lixe O, pris sur la droite qu'il parcourt ; par t le temps écoulé depuis le moment où il était en A jusqu'à celui où il est en X; et par a la distance OA. Il est clair que x change avec I, et il s'agit de trouver la relation qui les lie l'un à l'autre.

Or, v désignant l'espace parcouru pendant l'unité de temps, l'espace AM parcouru dans le temps quelconque r sera vl, et l'on aura, par conséquent,

Cette formule fera connaître l'une quelconque des deux

variable» xclt quand l'autre sera donnée, mais seulement pour les époques qui suivront celle où le mobile était eu A.

Considérons maintenant le» époques antéVienres à cette dernière : le mobile ne sera pas encore arrivé en A, ce que nous exprimerons en disant qu'il était à gauche de A, en regardant A X comme la droite. Mais d'après la position que uous avons supposée à l'origine 0 des X, le mobilç pourra être en M'entre A et 0, ou en M" à gauche de O.

Dans le premier cas, si on désigne par t' le temps qui sépare l'épique que nous considérons de celle que nous avons prise pour origine des temps, nous aurons évidemment

Dans le second cas, le mobile est en M", et on aura

(3) <M"-.tf- a .

Ainsi les données étant que la position initiale A du mobile est à droite de l'origine 0 et que le mouvement a lieu vers la droite, il faut trois formules différentes pour représenter les positions du mobile, dans le passé comme dans l'avenir.

Mais n'est-il pas possible de réduire à une seule ces formules qui ne diffèrent que par des changements de signes dan» les termes?

Or, on aperçoit facilement que si dans la formule (i) on remplaçait 1 par — (' elle deviendrait (a), et que si on y remplaçait t par — ('et X par — OM* elle deviendrait (3), eu y ebangeant tous le» termes do membre. Mais il sera bien entendu que la multiplication de — /' par v se fera suivant les règles des signes démontrées pour le cas des polynômes, et qui n'auront ici aucun sens analogue, les signes que l'on suppose implicitement dans ( et X n'ayant

)54 SCIEHC* DU HOHBBE8.

pas d'autre objet que de réunir les trois formuici en une seule.

Nous pouvons donc Énoncer la proposition «uiv an le : Les positions du mobile seront représentées, dans le passé comme dan» l'avenir, par l'équation unique (i), aux coudilion* suivantes ; pour toute époque dans l'avenir, ( désignera l'intervalle de temps qui la sépara de l'origine; et, pour toute époque dans le passé, t désignera — l'intervalle, et celte quantité négative sera traitée suivant les règles démontrées pour les quantités non isolées ; pour toute position à droite de l'origine 0, c'est-à-dire du côté qui est dans le sens du mouvement, x désignera la distance du point à cette origine ; et pour loule position à gauche, x sera con-i sidéré dans l'équation comme désignant — la distance.

On voit que l'introduction des quantités négatives isolées dans la formule (i), et qui correspond an changement de sens relativement aux origines respectives des temps et des distances, n'a rien d'arbitraire. 11 n'y a d'arbitraire que

moyen est unique et forcé. Et il n'y a aucune règle à démontrer, aucun sens mystérieux à attacher à ces quantités négatives isolées : elles ne produisent la généralisation qu'a la condition d'être traitées suivant les règles établies pour les quantités non isolées.

144. La discussion que nous venons de faire renferme tous les cas où le point A est à droite de l'origine 0; il reste donc à examiner les modifications que subissent les formule» quand ce point est à gauche.

nu- a.

Supposons toujours que le mouvement ail lieu veis la

droite. Nous aurons encore à considérer le point dans les trois régions OX, AO, AX', c'est-à-dire en M, M' (fg. a) ou M".

Dans le premier cas, on a

ON — AM-AO ou * = « — AOj

dans le second,

OM'^AO-r/;

dans le troisième, eu désignant par t' le temps antérieur à l'origine,