ON"= AO

De ces trois formules la seconde rentrerait dans la première si — OM' était désigné par x, ce qui s'accorderait avec le procédé employé dans la première discussion relativement aux points situés u gauche de l'origine. Et cet accord était absolument nécessaire, car pour qu'un moyen de généralisation soit admissible il faut que les mêmes choses soient partout entendues de la même manière.

Enfin la dernière formule, dans laquelle on entendrait de même que — OM" est désigné par x, rentrerait encore dans la première, en entendant que — l'soit désigné par I, comme nous l'avions déjà fait dans la première discussion. On conclut de 1A qu'en entendant toujours 1rs signes de x tt't de la même manière, toutes les positions du mobile sur la droite indéfinie seront représentées par l'équation unique

r = H — OA.

Mats on voit aussi que cette équation rentrerait dans (i), si ou entendait que a y est remplacé par — OA quand le point A est situé à gauche de l'origine des x. El c'est ce que nous pouvons faire, car c'est toujours entendre que dans la formule type lus lettres doivent Être remplacées par

l5fi SCIENCE DES NOUER».

— les quantités, quand celles-ci son! eu sens contraire à celui qui a été supposé quand au a obtenu cette formule.

i 48. Nous avons doue découvert un moyen de renfermer dans la seule équation (i) tomes les variétés que peut présenter la relation entre le temps et la distance, quelle que soït l'époque que l'on veuille choisir, et quelque part que soit situé le mobile à l'instant que l'on choisit comme origine des temps.

Mais il faut aussi reconnaître que nous n'avons pas encore trouve la solution la plus générale : car nos discussions ont toujours supposé que le mouvement avait lieu dans une môme direction, celle que nous avons appelée île gauche à droite.

Il nous reste donc à examiner les cas analogues aux précédents, en supposant que la direction du mouvement soit de droite à gauche.

Celte discussion est si semblable à la précédente, que nous croyons inutile de la faire avec autant de détail.

fi e . 3.

Soient toujours 0 l'origine des distances, A la position du mobile, pour i =o {fig. 3). Sa position après cette époque sera à gauche de A puisqu'il marche vers la gauche.

En le considérant d'abord entre A et O, on aura évidemment, en désignant par y' la valeur absolue de sa vitesse,

Quand il aura dépassé O, l'équation n'aura plus la même forme; mais elle rentrera dans (a), en supposant toujours que x est remplacé par — OM'.

Et dans le temps antérieur à l'origine, le mobile sera à

.chàfithb ïyui. 137 droite de A, et l'on aura encore une nouvelle forme d'équation qui rentrera de même dans (a), en entendant que dans celle-ci £ est remplacé par — l'Intervalle de temps qui sépare l'époque en question de l'origine,

Le procédé de généralisation employé précédemment permet donc de représenter par l'équation (a) toutes les circonstances du mouvement du point qui marche vers la gauche, et est en A, à droite de l'origine 0, dans sa position primitive.

On reconnaîtrait, comme précédemment, que celle même équation représente le mouvement dans le cas où le point A serait à gauche de 0, pourvu que dans (ce) a soit alors remplacé par — la dislance absolue. D'où résulterait enfin que l'équation (a) représente de la manière la plus générale le mouvement d'un point vers la gauche, les signes dex, t, a étant toujours entendus de la même manière.

Il résulte de là que tous les mouvements possibles seraient représentés par deux équations différentes,

Or, il est clair que la première donnerait la seconde, en y remplaçant c par — v', c'est-à-dire en entendant que dans l'équation (1) v est le nombre absolu qui exprime la vitesse, quand le mouvement a lieu vers la droite, et qu'il doit être remplacé par — ce nombre quand le mouvement a lieu en sens opposé.

140. Nous pouvons donc dire maintenant que nous représentons par la seule équation

le mouvement uniforme d'un point sur une droite dans toutes les variétés de circonstances qu'on pourra supposer.