Si un polynôme

Ai"+Bi— + l-T^ + U

est rendu nul par m expressions différentes, imaginaires ou réelles, il peut être regardé comme le produit de m facteurs du premier degré, et de son premier coefficient A. En effet, puisqu'il admet une racine a + ë il peut, d'après ce qui Tient d'être démontré, se mettre sous la forme

kx m + . '. . + U

= (t— a — Sy^ïHAa— '+ B, . . + T,x + U,).

Maintenant ce produit devant, d'après l'hypothèse, devenir nul quand on metpourxune expression a'-hG'<JZZÏ différente de a-i-S y / — i, le premier facteur ne s' annulant pas, il faudra que le second s'annule; d'où il suit qu'il

i86 sennes des n oit bu es.

sera divisible par x~i!~ë'\/—i, et pourra se mettre

sous la forme

ci l'on aura Ax^ + ...+ U

- { x , e ^ {*»' ff yC^) {A *—+... + u, ).

On continuera ainsi jusqu'à la m''"" racine du polynôme, et l'on aura, comme nous l'avions énoncé,

A*--t-Ba— ' + ... + Tj:+D

x( af a {-')ef-') 4 /=T).

169. Enfin, si le polynôme de degré m était rendu nul par plus de m expressions différentes, réelles ou imaginaires, il s'ensuivrait qu'il esi identiquement nul, c'est-àdire que les coefficients des différentes puissances de X sont tous nuls séparément : d'où il suivra que le polynôme seraitzéro, quelque expression réelle ou imaginaire qu'on substituât à x. En effet, considérant m de ses racines supposées, c'est-à-dire des expressions qui l'annulent, il sera décomposé en m facteurs du premier degré eu x, et en outre du facteur A.

Maintenant il doit s'annuler par une nouvelle expression qui n'annule aucun des facteurs autres que À ; donc il y aurait contradiction si l'on n'avait pas A = o, et, par conséquent, le polynôme proposé a tous ses coefficients nuls, comme noua l'avîoni démontré dans le cas des racines réelles, par des raisonnements que nous reproduisons ici on les abrégeant.

Corollaire. — On conclut de là que si deux polynômes

CBlriTBE XX. 187

de degré m sont égaux quand on substitue à x successivement plus de m valeurs différentes, réelles ou imaginaires, ils sont les mêmes terme pour terme.

Le théorème analogue, démontré pour le cas de plusieurs variables, s' étend ainsi au cas où les valeurs données à ces variables sont imaginaires.

i70. Remarque. — - Si un polynôme, dont les coefficients sont tous réels, est rendu nul pour x = a -f- 6 v' — ï, il le sera aussi par x = a. — ë ^ — t".

En effet,, dire qu'il s'annule par la substitution de a -H S v'— 1 à x, c'est dire que la partie réelle du résultat est nulle, ainsi que le coefficient de ^ — 1. Or, d'après la manière dont nous effectuons ces opérations, le résultat de la substitution de a — êv'— ' " e différera du premier que par le signe de <f— 1 ; il sera donc nul comme le pre-

II suit de là que, si le polynôme est de degré m, il pourra être mis sous la forme

(^-.-SvCTT) (, a + ev C7) (A^N-... + V),

ou

- 21 x + «>+ 6=) {Ax— ' + ...+ V).

Théohème l. — La racine carrée d'une expression imaginaire a + b ^ — 1 est de même forme.

Ce qu'il s'agit de prouver, c'est qu'il existe une expression x qui, multipliée par elle-même de la manière convenue, donne pour partie réelle a et pour partie imaginaire 6 V — 1, quels que soient les signes de a et b. Il faudra pour cela qu'on ait les deux équations x?—j* = a, 9a7- = i.

l88 SCIEHCE DES NOMBRES.

Leur système est équivalent au suivant,

La dernière équation ayant son dernier terme négatif, et étant de degré pair, a une racine positive et une racine négative; et comme elle n'a que des puissances paires de x, ses racines sont deux à deux égales et de signes contraires, et indépendantes du signe de b.

Considérant d'abord la racine positive, y prendra une valeur réelle unique qui changerait de signe avec b, et x -\~y v*— i sera donc une racine carrée de a -+- b V — <> et x — yf—t le serait de a — b \ — 1. Considérant la valeur négative, y aura la même valeur au signe près que dans l'autre cas, et on aura une seconde racine qui sera

ou la première changée de signe.

Le théorème csUdonc démontré, et ± {x ±jV — 1) représentent les racines de a ± b V — i , les deux signes de j étant liés à ceux de b.

Théorème II. — La racine cubique dea + b est de même Jointe.

Il s'agit de prouver qu'on peut trouver ponr x et y des valeurs réelles telles, que l'on ait

Cette condition conduit aux deux équations suivantes :

x'—%xf—-a,

Pour avoir une équation du premier degré en j, on