CHAPITRE XX. l8g

multipliera la première par y et la seconde par Zx, puis ou les retranchera, ce qui donnera

d'où

et reportant dans la première, on obtiendra une équation du neuvième degré en x, réductible au troisième en prenant X 1 pour inconnue, el dont le dernier terme sera — a*. Elle aura donc une racine réelle de même signe que a 1 ou que a, et la valeur de y sera réelle et de môme signe que S. On aura donc une racine cubique de a -H b V— *'i qui' sera

x et y étant réels. c. q. f. n.

171. La valeur ci-dessus, qui donne/ et x, change de signe avec b, sans changer autrement. On aura donc une racine de a — b \j — 1 eu prenant x —y ^ — 1.

Mais, indépendamment de cette remarque, il est clair que le cube de x —y ^—1, forme suivant les règles convenues, ne différera de celui de x-hy ^ — 1 que par le signe du coefficient de ^ — < ; si donc cette dernière expression élevée au eube donne a ■+■ b V— 1> l'autre donnera pour cube a — b V — 1 .

La même observation s'applique aux racines de tout autre degré des expressions de la forme

172. Théobeme III. — Si un polynôme P est divisible séparément par {x — a) m et {x — fc) n , a et b étant réels ou imaginaires, Uie sera par (x — a)" [x — b)".

IQO SCIENCE DBS «OMBRES. ÏUiPITBE XX.

En effet, soit Q le quotient de P par (a:— a)'", on ours (0 P=(*- fl )"Q.

Or, P étant divisible par (x — £)", devient nul quand on faille = 6, et comme le facteur (x — a)" 11e le devient pas, c'est Q qui doit le devenir: donc Q est divisible para: — b. Reste à savoir à quelle puissance x — b est facteur dansQ. Or il est facile de voir que c'est à la même qu'il l'est dans P. Car, s'il l'cinit à une puissance plus élevée dans l'un que dans l'autre, en divisant les deux membres de l'identité (i) par la plus faible des deux, x — b resterait facteur dans l'un des deux membres, sans l'être dans l'autre; de sorte qu'en faisant x = b l'un des membres s'annulerait, et non l'antre} ce qui serait absurde.