NOUVELLE EXTENSION DONNÉE AUX EXPOSANTS

173. Les exposants ont été imaginé d'abord pour exprimer le nombre de fois qu'une quantité est prise cotnn»! facteur : ils sont donc nécessairement des nombres entiers. Il résulte de cette définition des règles Lrès-simples pour la' multiplication et la division des puissances d'une même quantité, ainsi que pour l'élévation à une puissance quelconque ou l'extraction d'une racine d'une quantité déjà affectée d'un exposant.

Mais il j a une restriction à apporter à celte dernière règle. L'extraction do la racine d'une puissance d'un nombre peut s'effectuer par la division de l'exposant de cette puissance par l'indice de la racine, mais à la condition que le quotient sera entier, puisqu'un exposant doit l'être d'après sa définition. Si donc cette division n'était pas possible, on ne pourrait qu'indiquer l'opération par la notation des radicaux, et la simplification ne pourrait avoir lieu.

Ainsi y<i m pourra être représenté par a" quand m sera divisible par n, mais devra conserver sa première forme si cette division n'est pas possible.

Mais tant que m et n resteront indéterminés, on ne saura pas si — PSt entier, et, par conséquent, on devra s'interdire cette représentation des racines par la division des exposants. Cependant cette manière uniforme de représen-

102 SCIEBCE DES HOUSSES.

1er ces opérations offrirait tant de commodité, qu'il est naturel de chercher ■ quelles conditions on pourrait se la permettre.

Or, on a facilement reconnu que si l'on convient de désigner généralement ^a" par a", lors même que m n'est pas divisible par n, et qu'on traite ces exposants fractionnaires suivant les rofim.es règles que les exposants entiers, pour les opérations analogues, le résultat ainsi obtenu sera toujours la représentation du véritable résultat, dans ce même mode de notation.

Ainsi, par exemple, si l'on a à multiplier entre elles les

deux quantités représentées par a" et a*, il est facile de démontrer qu'en faisant la somme des exposants — j ->

prenant cette fraction pour ex-

posant de a, l'expression ainsi obtenue,

sera la représentation du véritable produit dans le même système de notation.

En effet, a", al représentent ÎV" et 'ija'.

Or, les règles pour le calcul des radicaux donneront, pour le produit de ces deux dernières quantités,

dont a est bien la représentation d'après la notation convenue.

On démontrera de même que pour effectuer la division de deux radicaux représentés par des puissances fraction-

n aires d'une même lettre, il suffira de soustraire l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende, pour avoir la représentation du quotient des deux radicaux.

En effet, en considérant encore les deux radicaux fa" et yW, dont l'expression au moyen des exposants fraction-

la soustraction des exposants c

et l'exposant sera positif ou négatif, suivant que — sera plus

grand ou plus petit que -■

Or les radicaux proposés, réduits au même indice, donnent pour quotient

et, en effectuant la division indiquée, en soustrayant l'exposant du diviseur, et admettant les evposanls négatifs dans le sens convenu précédemment, le quotient deviendra

Or l'expression trouvée par la soustraction des exposants fractionnaires est précisément la représentation de ce résultat, en entendant que l'exposant fractionnaire indique la racine, de degré marqué par le dénominateur, de la puissance dont le degré est marqué par le numérateur, qui peut être négatif, et entendu alors comme nous l'avons dit pi'écûlc initient.