DONNÉES PREMIERES DB LA SCIENCE DE I.' ÉTENDUE

S. Les corps matériels nous donnent les idées d'étendue, de forme, de situation les uns par rapport aux autres; et, tomme nous l'avons dit, noire esprit peut faire abstraction de tout ce qui lient à leur nature matérielle, pour n'y voir que leur figure. Il y conçoit une continuité et une régularité qu'ils sont bien loin d'avoir réellement; et c'est en leur donnant cette perfection idéale qu'il les soumet à ses investigations, et forme la science de raisonnement qui s'appelle la Géométrie.

Il est dans la nature de l'esprit humain d'aller toujours au delà de ce que les sens lui présentent. Aussi, quoiqu'il ne connaisse par leur moyen que des corps très-1 imités, conçoit-il la possibilité que ces limites soient beaucoup moins resserrées, et nu voit-il même aucune borne assignable à leur étendue, soit idéalu, soil même matérielle.

DBS SCIEHCES MATHÉMATIQUES PVDES. 5

Cette conception fait naître chez la plupart des hommes l'idée qu'il existe ce qu'ils appellent un espace indéfini, indépendant de l'existence d'aucun corps, cl qui subsisterait après l'anéantissement complet de tout ce qui est, matériel on spirituel. Us se figurent que par cela seul qu'on admet la possibilité des corps, on doit admettre qu'il y avait de la place pour les recevoir ; et de la pure abstraction qui nous fait concevoir la matière et la figure comme susceptibles d'une étendue sans borne, ils font la réalité d'un être qu'ils nomment l'espace. Il est difficile de pousser l'aberration plus loin; et cela est cependant si naturel, que bien peu d'hommes seront d'abord de noire avis sur ce point, qui a déjà été l'objet de bien des controverses.

Mais si l'on suppose pour un instant que rien n'existe et qu'un corps vienne à Cire créé, quel obstacle pourrait-il rencontrer? Que pense-l-on quand on dit qu'il fallait une place pour le recevoir? Dès qu'il a été créé, il a une élcnduc; on peut sans aucun doute faire abstraction de sa matérialité pour ne plus voir que sa figure ; on a ainsi une idéed'etenduc qu'on pourrait conserver après l'anéantissement de toute matière ; mais ce serait une simple idée existant dans notre esprit, cl n'ayant aucune réalité en dehors.

Après s'Être créé ce fantôme, si l'on vient à y appliquer son attention et à chercher à se rendre compte de son existence, on se trouve saisi d'une sorte d'effroi, comme il arrive toutes les fois qu'on veut sonder quelque mystère impénétrable à l'rsprit humain. Un être infini dans tous les sens et indépendant de toute création, confond l'imagination ; il est aussi difficile à concevoir que Dieu lui-même ; néanmoins, personne presque ne doute de sou existence; ceux-là même y croient, qui ne croient pas à l'existence de Dieu.

Et cependant cet être prétendu n'est que le produit de

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l'imagination de l'homme; ce qui est vrai, c'est qu'il n'y a pas de limite à ] étendue possible de la création, et par suite à l'étendue abstraite des objets créés: et cet espace fantastique, que l'on semble croire destiné à recevoir ces objets, ou même simplement leurs figures, n'est pas une c/iotPf c'est l'absence de toute chose : c'est le néant.

6. La première notion d'étendue que nous recevons des corps solides n'est pas la seule dont ils nous donnent l'idée. La limite de leur étendue, on leur surface, constitue une autre espèce d'étendue d'une nature toute différente, puisque l'intérieur du corps, qui est considéré dans la première, ne l'est pas dans celle-ci. Enfin, si l'on considère une portion de la surface d'un corps, elle est terminée par ce que l'on appelle une ligne; et la ligne donne l'idée d'une nouvelle espèce d'étendue entièrement différente des deux autres. Si l'on considère une portion de ligne, les limites de son étendue, ou ses extrémités, n'offrent l'idée d'aucune espèce d'étendue , et se nomment des points. Ces trois sortes d'étendue portent les noms d'étendue en solidité ou 'volume, en surface et en ligne. On les comprend toutes sous la dénomination de granileitrs géométriques.

7. Deux grandeurs géométriques, de quelque espèce qu'elles soient, sontdiles égales, lorsqu'on peut transporter l'une des deux, en no changeant rien en elle, de manière qu'elle coïncide complètement avecrautre. Celle translation offrirait des difficultés cl même des impossibilités dans le cas des corps solides, si l'on n'avait pas fait abslraciîoii de leurs propriétés matérielles, et particulièrement dit l'impénétrabilité. Nous ne considérons que la figure îles corps, des surfaces et des lignes, cl ces images idéales ne peuveni offrir aucun obstacle h la pénétration.

DES SCIEHCES H» THÉMATIQUES SURES. J

Lorsqu'une quantité se compose d'une quantité égale à une seconde et d'un reste quelconque, on dit qu'elle est plus grande que la seconde ; la seconde est dite plus petite quo la première, ot s'appelle aussi une partie de la première. Une grandeur , relativement aux parties dont elle est formée, se noniine un tout; elle est dite la somme des différentes grandeurs qui la constituent.

Ainsi, d'après le sens que nous attachons aux mots tout, partie, plus grand, plus petit, on voit qu'un tout est plus grand qu'une de ses parties, ou que la partie est plus petite que le tout. C'est donc à tort qu'on fait de cette proposition un axiome fondamental que quelques auteurs des Traités de Géométrie demandent qu'on admette comme évident, et placent au milieu de leurs postulata ou vérités indémontrables. Celte méprise, un peu forte il est vrai, consiste à prendre pour une vérité de sentiment ce qui n'est qu'une ■vérité de définition.

8. Nous nous occuperons d'abord de l'étendue ou de la figure dans le cas le plus simple, le plus réduit, dans le cas des lignes.

De toutes les lignes, celle qui préseule la figure la plus simple, et dont la considération se présente le plus souvent dans la Géométrie, est la ligne droite : on en a donné des définitions assez diverses.

Les auteurs les plus célèbres de nos jours appellent ligne droite la plus courte ligne qui puisse être menée d'un point à un autre; définition qui est entièrement défectueuse. En effet, elle ramène une notion à d'autres quel'on n'a pas, ctqui sont beaucoup moins simples que la première. Qu'cntcndon, en effet, par une ligne plus grande qu'une autre? C'est celle qui se compose d'une partie égale à la première et d'un reste quelconque. Or, deux lignes égales sont celles qui peuvent coïncider, et par conséquent l'égalité ne petit