OBJET ET DONNÉES

Être conçue entre deux lignes dont la figure no se prête pas à ia superposition. Quelle idée peut-on se faire alors de cette définition donnée au commencement même de la science, lorsque l'on n'a pu encore faire savoir ce que l'on appelle lignes d'égale longueur, dans le cas où il ne peut y nvoir coïncidence? Nous rejetons donc entièrement cette définition, qui a encore l'inconvénient de ne donner aucune idée de la ligure de la ligne droite à ceux qui ne l'auraient

9. Euclide n'était pas tombé dans cette faute, et n'avait pas introduit dans sa définition la considération de la longueur; mais elle pèche un peu par la clarté, et a pu donner lieu à des interprétations diverses. La ligne droite, ditil, est celle qui iS «ï»< <<? i«orît m/ulnt, c'csl-à-dire qui repose également sur ses points. Or, que faut-il entendre par là? Vcul-il dire que si l'on considère deux quelconques de ses points, elle ne pourrait être posée sur eux de plusieurs manières différentes, de sorte que, par deux de ses points, on ne peut concevoir une seconde ligne droite? Supposeral-on, an contraire, que cette similitude entre ses points se rapporte aux différentes parties de la droite? Cela n'est pas vraisemblable; car cette identité de forme dans toute l'étendue d'une ligne s'appliquerait aussi bien au cercle et à l'hélice 'qu'à la ligne droite. Ce qui est bien certain, au reste, c'est qu'il n'y a rien dans cette définition qui puisse faire supposer tjn'Euclidc considérait la droite comme la ligne la plus courte qu'on puisse mener cuire deux quelconques de ses points. Kt cela est d'autan t plus certain, qu'il démontre plus lard très-rigoureusement que toute ligue droite est plus petite qu'une ligne brisée terminée à ses deux extrémité!. Ajoutons enfin qu'Archiméde a mis au nombre des principes que la ligne droite est la plus courte de toutes celles qui ont les mêmes extrémités, et que la ligne cou-

; MATHÉMATIQUES TURFS. 1)

cave esl plus courte que toute ligne qui l'enveloppe; ce qui montre bien qu'il ne regardait pas la ligne droite comme ayant été définie par cette propriété.

Noua sommes porté à admettre la première explication, et nous croirons être d'aecord avec l'nclide en appelant ligne limite une ligne imléfinie telle, que par deux points donnés on n'en peut faire p/isser qu'une seule.

Et cette propriété que nous prenons pour défini lion d'une forme particulière de lignes entraîne celle autre, que si l'on

manière que les deux cxtrémilél soient tout autre part sur la même ligne, les deux portions comprises entre ces deux points coïncideront, et la forme de celle ligne est partout la même.

La définition que nous adoptons a l'avantage de donner uni- idée bie n nette de celle forme. Il suffit de se représenter une ligne dont deux points resteraient 1rs infinis, et qu'on essayerait de déplacer d'une manière quelconque. On aura bîcniot exclu toutes les fur mes qui ne satisferaient pas à la roniliiiun de roinridence i oriii jnlc exigée par la définition, cl il ne restera r nmme y salisfsisanl que tette

ligne dont mut le monde a le sentiment bien avant d'en

Tonte ligne oui n'est ni droite ni composée de lignes droites s'appelle ligne courbe, ou simplement cofirbe.

10. A partir d'un point d'une droite, ou peut considérer deux cotés différents donnant lieu à ec qu'où appelle les directions opposées de la droite en ce point, La tendance naturelle de l'homme à rapporter tout à lni-iuùiue, fait souvent désigner ces deux dirceiions par les noms de gauche el droite, et, dans certains cas, celle image contribue à donner uuc idée claire des positions ou des mouvements.

H. Toutes les droites indéfinies coïncidant quand elles

IO OBJET F,T DÙBXt.tS

ont deux pointa communs, rien n'esl plus facile que de porter sur une droite indéfinie, a partir d'un de ses points et dans le même sens, des droites égaies ii des droites données. C'est ce qu'on appelle ajouter les longueurs de ces lignes, et l'on dit qw« la droite comprise entre les deux points extrêmes a une longueur égale à la somme de toutes les

12. Remarque. — Nous avons compris dans la définition de la ligne droite ces deux propriétés que, lorsque deux de ses points sont fixés, la ligne ne peut avoir qu'une seule position tant entre ces deus points qu'au delà ; mais il serait possible de rendre sensible que la seconde propriété est renfermée dans la première. Concevons, en effet, que deux droites qui ont deux points communs ne coïncident pas an delà, el prenons sur l'une un point qui ne soit pas sur l'autre. On pourra amener ce point sur cette dernière par un déplacement de la première droite autour du point commun le plus éloigné, et l'on juge avec assez d'évidence que, dans ce déplacement, les points qui étaient d'abord communs ne le seront plus, et qu'il y aurait par conséquent deux lignes droites différentes entre le point resté fixe et celui qu'on a rendu commun aux deux proposées; or, cela serait contraire à la définition de la ligne droite.

Mais le sentiment qu'on a de la justesse de ces considérations ne nous priait propi ••. qu'à [U'nduiiv une confirmation , et non une véritable démonstration. Nous croyons, convenable de renfermer dans l'idée de la ligne droite la propriété de coïncidence indéfini» de iluux droites qui auraient deux points communs.

13. Lorsquodcux droites se rencontrent en un point, elles donnent une nouvelle idée qui es! celle d'inclinaison mutuelle ou d'angle. Nous croyons qu'il n'est pas à propos de définir cette idée, parce qu'elle ne saurait être ramenée à