ÉQLATIC1KS DU TROISIÈME DEGRÉ

203. L'éqnation la plus générale du troisième degré peut se mettre sous la forme

Avant de résoudre celte équation générale, considéronsen le cas le plus simple, celui où elle ne renfermerait d'inconnu que le seul terme x'.

Si l'on extrait la racine cubique de la valeur absolue du terme tout connu, et qu'on la désigne par a, l'équation pourra avoir, suivant le signe du terme connu, les ■ 5

deux formes exprimées de la manière suivante ^±o" — o.

Considérons d'abord

Le premier membre, étant le produit des deux facteurs

x — a et x' -+- ax ■+■ a', peut être égalé à zéro, soit en posant

soit en posant

La première équation donne la seconde donne

Le nombre quelconque n* a donc trois racines cubiques, l'une réelle, et qu'on sait trouver par les procédés indiqués précédemment, les deux autres imaginaires. Ces trois racines sont le produit de a par les trois expressions qu'on trouverait en faisant a s = i, c'est-à-dire par les trois racines cubiques de i qui sont

Ces deux expressions imaginaires, traitées suivant Jes règles indiquées dans le chapitre XX, donneront l'une et l'autre i pour cube.

Quant à l'équation

son premier membre, n'étant autre chose que le produit ne peut Être rendu nul qu'en posant

j + a = 0 OU l'-jr + fl'^Oi d'où l'on tire

x — — a ou i = ^±^p3;

ces trois valeurs sont les produits de a par les trois valeurs que l'on aurait trouvées en prenant a' = i; ce sont donc les racines de l'équation

ouïes racines cubiques de — I .

Ce qui montre que tout nombre négatif — a* a trois racines cubiques, qui sont les produits de ce qu'on appelle la racine arithmétique de ce nombre par les racines cubiques de — i , qui sont

206. Nous venons de trouver les racines cubiques des nombres réels, positifs ou négatifs; mais il nous sera encore nécessaire tout à l'heure de connaître toutes les racines cubiques d'une expression imaginaire de la forme a + b \l— i, et nous allons maintenant traiter cette question, c'est-à-dire résoudre complètement l'équation

x> = a + b <f^7, pour laquelle nous avons déjà démontré l'existence d'une racine de la forme a -|- ê V / — ï (chap. XX).