Revenons maintenant à l'équation générale

Par une transforma lion très-simple que nous avons fait

réductible à la forme p + q v*— i.

i'+Ai'+Bi + C^o.

connaître dans le chapitre XXIV, on peul la débarrasser . du second terme; il suffit pour cela de poser

l'équation en y ne renfermera que la troisième et la première puissance de y . Supposant ilonc cette simplification opérée, et employant, suivant notre habitude, la lettre x pour représenter l'inconnue, le problème que nous nous proposons est de trouver toutes les solutions de l'équation suivante, où les coefficients peuvent avoir implicitement des signes quelconques, afin que les résultats puissent s'appliquer à tous les cas particuliers, (i) x> + p* + q = Q.

Nous allons chercher à ramener la détermination "de x à celle de deux parties, dans lesquelles nous le supposerons décomposé d'une manière indéterminée. F,t nous faisons cela avec la pensée que la suite du calcul pourra nous indiquer quelque moyen de profiter de cette indétermination pour introduire quelque simplification. On n'est pas absolument sùr que cette réduction sera avantageuse; mais elle peut être tentée, et l'on est presque toujours obligé de procéder

Posant donc

en entendant quej' et z peuvent Être quelconques, et substituant dans (i), on trouve, comme conséquence, avec réciprocité,

ou

Et comme les Sens indéterminées y et z ne sont tenues de

satisfaire qu'à cette seule équation, on peut établir entre elles telle autre condition qu'on voudra. On aperçoit de suite que celle qu'il convient de choisir est la suivante

(3] t r ,+p = o on =

Car l'équation (a) se réduira à

qui devra être satisfaite en même temps que (3); et réciproquement, si elles le sont, {a) le sera, et par suite (i). El, comme nous allons le voir, les deux équations (3) et (4) déterminent les valeurs de y et z ; d'où résultera, en les ajoutant, la formule générale de x qui satisfait à l'équation proposée (i).

Eu effet, l'équatiou (4) fait connaître la somme des cubes de y et z ; l'équation (S), donnant le produit de y et z, donne par suite le produit de leurs cubes : on connaîtra donc la somme et le produit de ces cubes, qui seront par conséquent les deux raoïncs d'uue équatiou du second degré connue; on connaîtra doue ces cubes, et, par suite, ces quantités mêmes, d'où x se déduira, en les ajoutant. Reste donc à effectuer le calcul que nous venons d'indiquer. Les équations (3) et (4) donnent

(5) r »-|-tf = -3,

et il est toujours entendu que ihdus cherchons des expressions positives ou négatives, réelles ou imaginaires, qui s.iii^fis.-ciiL .lux cqii.iiioiif, en effectuant les opérations suivant les règles tant de fois rappelées dans ce qui précède.

Maïs, avant d'aller plus loin, voyons si l'équation (6), qui se déduit de (3), l'entraîne réciproquement; sans quoi

le système (5), (6} renfermera il des solutions étrangères au système (3), (4) auquel la proposée a été ramonée. Or on reconnaît immédiatement que l'équation (6) peut être satisfaite sans que (3) le soit, parce quc£j a, comme toute quantité réelle ou imaginaire, trois racines cubiques différentes, qui sont, d'après ce que nous venons de voir, le produit de ^ par les trois racines cubiques de + ' qui sont i ,

Si donc nous désignons ces deux dernières par «, 6, on obtiendrait la même équation (G), si au lieu du (3) on avait l'une quelconque des deux suivantes,

Le système (5), (6) renferme donc, outre les solutions de la question proposée, celles de deux autres systèmes consistant en chacune de ces deux dernières équations, jointe à (5).

Résolvons donc d'abord lt système (5), {6) ; nous verrons ensuite comment nous débarrasser des solutions élran-

somme et le produit, seront les deux racines de l'équation suivante,

dont les valeurs sont

a V 4 27 Il ne reste donc plus qu'à extraire les racines cubiques de ces deux expressions, réelles ou imaginaires, et à les ajouter pour former la valeur de x. Mais pour chacune d'elles

il y a trois racines cubiques, et leurs combinaisons respectives donneraient neuf valeurs pour y ■+- z. Ces neuf valeurs sont les solutions des trois systèmes renfermés dans les équations (5), (6), et il nous sera facile de séparer celles qui conviennent à la question proposée.

Pour cela, nous considérerons successivement les trois hypothèses de ^ ■+■ ~ positif, nul ou négatif.

i° Supposons

désignons

Leurs trois racines cubiques seront respectivement, en désignant par a , 6 les deux racines cubiques imaginaires de -I- 1, et par y' A et J'El les ratines arithmétiques de A et B,

Les trois premières représenteront par-exemple les valeurs de y\ les trois autres celles de z. Mais le produit yz doit être réel d'après l'équation (3), et comme a, 6, a', ë' sont imaginaires, les seules combinaisons satisfaisant à (3) et donnant les valeurs cherchées de * qui satisfont à (i) se-

et l'on voit que la première seule est réelle.