AB CB

et au moyen de la construction du point A , on trouve aussi

ib)

kb = Ob.

Substituant ces valeurs de ab et de kb dans la relation (i), et observant qu'en vertu de la construction

BA BO ,, , AB BA BC^BÂ' ''""' CB'BÔ"'' il vient enfin

Ce qui fait voir que le lieu des points M est la circonférence décrite sur la droite OC comme diamètre.

Scolie. — Les relations précédentes subsisteraient encore et conduiraient par suite au même résultat, si , la droite OC n'étant plus la bissectrice de l'angle 0, le point k était toujours défini par la môme construction, qui consiste à mener Ch parallèle à OA, et à abaisser hk perpendiculaire sur OC.

Deuxième question. — Théorème. — Les quatre côtés d'un quadrilatère, pris trois à trois, forment quatre triangles : construisant le point de rencontre des hauteurs de chacun de ces triangles, on obtient quatre points qui sont en ligne droite.

Démonstration. — Soient, par exemple, ;«, «, p les points de rencontre des hauteurs des triangles ABD, BCF, ACE, et cherchons à établir qu'ils sont en ligne droit^

Menons a cet effet la droite CL parallèle à BD , et construisons auxiliairemcnt le point de rencontre des hauteurs du triangle ACL ; soit X ce point de rencontre.

Appelons r/, /, e, / les pieds des hauteurs abaissées sur la droite ABC des sommets D , L , E , F.

On aperçoit immédiatement que les points A , /« , /• sont en ligne droite, ainsi que les points /^, C , X- ; et que les droites mk et C/i sont parallèles. Il suffira donc , pour démontrer que les points m^n^p sont en ligne droite, d'établir l'égalité

^^ C7i~-rp'

Or les lignes hn et Cn qui sont parallèles, les lignes kp et Cjj qui sont des segments d'une même droite , sont entre elles comme leurs projections sur la droite ABC ; on a donc les égalités suivantes : /cm fil hp el

c7i~cf ^^ cJ^^Tc:

Il suflBra donc d'établir l'égalité

dl el .. Id C f

r~c= —ni OU bien — = -^.

Cy eO, le Ce

Mais