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qui résulte immédiatement de la construction , CL ayant été menée parallèlement à BD ou FD. Donc l'égalité primitive [x) est démontrée, et les trois points w, «, p sont en ligne droite, ce qui suffit pour la démonstration du théorème.

5. TROISIÈME MÉTHODE. — Pur duplication. — Cette méthode consiste à faire tourner une portion d'une figure autour d'une certaine droite, pour lui donner, par rapport à l'axe de rotation, une position

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symctii(jue de colle quelle occupait d'abord; opération qu'on expiiine plus simplement en langage ordinaire en disant qu'on opère la duplianion d'une portion de la figure primitive autour de l'une des lignes de cette figure. Or, si la ligne autour de lat|uelle on a fait la duplication a été convenablement choisie , il arrivera que les éléments linéaires ou angulaires que l'on avait à comparer ne seront pas altérés , et que les relations qu'il fallait mettre en évidence dans la première figure deviendront intuitives, ou au moins d'un plus facile accès, dans la seconde.

On pourra d'ailleurs, dans certains cas, avoir à opérer plusieurs duplications successives autour de différents axes.

APPLICATÏONS.

Première question. — Problème. — Trouver le plus court clicmi/i pour filler cVun point à un autre , en passant par une droite donnée (/ui laisse <Vun même côté les deux points donnés.

Solution. — Soit AMB un chemin quelconque réunissant les deux points A et B, en passant par un point M de la droite xy.

Opérant la duplication autour de la droite xj de la portion de la figure qui contient les droites issues du point A, le point A viendra en A', symétrique de A par rapport à xy^ et le chemin AMB sera remplacé par le chemin y^. égal X'Vl^ qui réunit le point déterminé A' au

point B et qui traverse la droite xy. Le chemin AMB sera donc mininuuii quand le chemin correspondant A' MB sera minimum, c'est-à-dire quand la ligne A'MB sera droite. Le point cherché M, auquel correspond le chemin minimum AIMB, est donc déterminé par l'intersection des droites A'B et xy.

Seconde question, — Problème. — Jitf/nt donnés deux points A et B, situés d'un même côté cFune droite xy, trouver sur celle-ci un point M tel, (/u en Joignant AM et BM, l'angle AM.r soit double de l'angle BMy. Solution. — Supposons le problème résolu , et opérons la duplication

autour de xy de la portion do la figure qui contient BM; le point B viendra en B' symétricjue de B par rapport à 'y xy; l'angle B'Mj égal à BMj sera '' 1 '\ donc la moitié de l'angle AMx; donc

^N\ B' / si l'on prolonge AM suivant M <^<, la li-

ox^— -' gne B'M sera la bissectrice de l'angle

aUy ou aMb, et le point B', sera également éloigné des deux côtés de cet angle. Donc, si du point B' comme

centre et avec un rayon égal à B'b = -B'B nous décrivons une circonférence, cette circonféren» e sera tangente à la droite AUa, donc, réripro-

quement, pour avoir la droite AMc/, il suflira de mener du point A une tangente à la circonférence B', et le point M sera déterminé par l'intersection de cette tangente avec la droite .ry.

Troisième question. — Théorème. — La somme des distances d'it/i point quelconque de la base cPun triangle isocèle aux deux côtés de ce triangle est constante , ciuel cpie soit le point choisi sur la base. Démonstration. — Soit o un point quelconque pris sur la base BC du triangle isocèle ABC ; et oc , ob les perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés AB , AC. Opérons la duplication autour de la base BC de la portion de la figure qui contient le côté AC et la perpendiculaire correspondante ob\ le côté C^A prendra la position symétrique C^'A', et la droite ob' = ob sera /b' encore perpendiculaire à C//A'. Or on aperçoit im- /'' médiatement dans cette nouvelle figure que les droites

' ^ BA et Cx\' sont parallèles ; que , par suite , oc et ob'

sont sur le prolongement l'une de l'autre, et que la somme oc-\-ob' est constante et indépendante de la position du point o , puisque cette somme représente la distance des deux parallèles AB, CA', distance qui reste la même, quelle que soit la perpendiculaire commune aux deux droites AB, CA' sur laquelle on la mesure. La somme égale ob-\-oc est donc aussi constante.

Remarque. — La nouvelle figure montre encore la modification qu'il faudrait faire subir à l'énoncé dans le cas où le point o serait choisi sur l'un des prolongements de la base BC.

6. QUATRIÈraz: MÉTHODE. — Par abstraction ou par généralisation. — On peut en général regarder une vérité géométrique énoncée pour une certaine figure comme un cas particulier d'une autre vérité plus étendue, relative à une figure plus générale que la première, et dans laquelle certains éléments seraient définis par un nombre moindre de conditions que dans la figure de l'énoncé. On pourra donc , dans certains cas spéciaux, faire abstj-actinn d'une ou de plusieurs des propriétés qui dciinissent certains éléments principaux de la figure primitive, pour ne conserver que celles qui paraîtront suffire à l'existence d'une proposition plus générale et dont la proposée ne sera qu'un cas particulier.

Il arrivera souvent , d'ailleurs , que la démonstration de cette proposition générale paraîtra plus facile que celle de la proposition primitive, et c'est ce dont il est facile de se rendre compte : l'une des plus grandes difficultés que l'on éprouve à établir telle propriété d'une ligure donnée , réside , en effet, dans le choix que l'on a préalablement à faire des relations utiles et dans leur séparation de toutes les autres relations, souvent en nombre considérable , qui existent entre les éléments de la figure , et que l'on n'a pas à employer dans la démonstration de la proposition. Si donc on est parvenu à cette séparation des relations utiles, on aura réellement fait un pas vers la solution de la question proposée.