PREMIERE PARTIE

APPLICATIONS

Théorème de Newton. — Dans un quadrilcttèrc circonscrit à an cercle ,

la droite cjiii Joint les milieux des diagonales passe par le centre du

cercle.

Démonstration. — Soient ahcd le quadrilatère considéré et o le centre

du cercle inscrit. Parmi les nombreuses relations qui

lient le point o au quadrilatère abcd, choisissons la

( I ) tri oab -+- tri ocd = tri obc -f- tri oda ,

qui exprime que la somme des aires des triangles ayant

pour sommet commun le point o et pour bases deux

côtés opposés du quadrilatère, est équivalente à la

somme des aires des triangles ayant pour bases les deux

autres côtés. Or il est facile de démontrer que, dans un

quadrilatère quelconque abcd, tout point o satisfaisant à la relation (i) est

situé sur la droite mn qui joint les milieux des diagonales.

La relation (i) peut, en effet, s'écrire

tri oab — tri obc = tri oad — tri ocd;

et si l'on appelle w, n les milieux des diagonales ac, bd, on aperçoit immédiatement que

( 2 ) tri oab — tri obc — i tri omb.

Car les triangles qui entrent dans la relation (2) ont une base commune ob , et sont, par conséquent, entre eux comme les distances des points «, c, m à la droite ob. On aura de même

tri oad — tri ocd = % tri omd.

11 suffira donc , pour que le point o satisfasse à l'équation de condition (i'), qu'il satisfasse à la suivante :

( 4 ) tri omb = tri omd ,

ce qui exige, les triangles omb et omd ayant une base commune om ^ que les sommets ^, d soient également éloignés de la droite om ^ ou, ce qui revient au même, que om passe par le milieu n de la droite bd\ ou enfin que le point o soit situé sur la droite nin qui joint les milieux des diagonales. Nous avons donc ce théorème général :

Théorème. — Dans un quculrilatère ])lan quelconque, le lieu des points o tels, que des quatre triangles ayant pour sommet commun l'un de ces points, et pour bases respectives les quatre côtés du qiuulrilatère , la somme de deux triangles non adjacents soit égale à la somnw des deux autr/'s , est la droite ({ui joint les milieux des diagonales. ( Léon AiNNE.)

lO DES iMETIiODES EX (.EUMETKIE.

Si le quadrilatère est circonscriptiblo, le centre du cenle inscrit est évidemment l'un des points du lieu i)récédent; nous retrouvons ainsi le théorème de Newton dans un cas particulier du i)récédent.

Sco/ic. — A la méthode actuelle se rattache encore l'emploi des lieux géométriques ou des courbes enveloppes dans la résolution des problèmes •(Ictcriuincs, ayant pour objet de trouver un point (ou une droite) satisfaisant à plusieurs conditions A et B.

En effet, si l'on fait alternativement abstraction de l'une des conditions B ou A, qui définissent le point (ou la droite) que l'on cherche, on trouvera successivement deux lieux géométriques (r/) ei [b) [ou deux courbes enveloppes (a) et ([i)] des points (ou des droites) satisfaisant isolément aux conditions A et aux conditions B. Le point ou la droite que l'on cherche sera donc le point commun aux courbes ( «) et ( i ), ou la tangente commune aux courbes (a) et (fi). Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'inscrire dans un triangle donné ABC un triangle IVfNP dont les côtés passent par trois points donnés TT , p , V , situés en ligne droite.

Il suffit évidemment , pour résoudre le problème , de déterminer l'un des sommets M , par exemple , du triangle cherché. Or, d'après l'une des conditions du problème , le sommet M doit se trouver sur le côté AB; et si nous faisons pour un moment abstraction de cette condition, nous aurons, au lieu du triangle déterminé MPN, une infinité de triangles, tels que rnjm, dont les cotés passeront par les points fixes tt, p, v, et dont les sommets n,p décrivent les côtés CB, CA du triangle ABC. Mais , d'après un théorème connu , le sommet libre m du triangle variable mnp décrit une droite passant par le point de concours C des droites CB , CA , qui servent de directrices aux sommets n^ p.Le point cherché M sera donc fourni par l'intersection du côté AB avec la droite C/n.

7. CINQUIÈMî: 3aÉTHOB£l. — Par composition et décomposition. — Cette méthode consiste à composer (soit par voie d'addition, soit par voie de soustraction), avec les grandeurs dont on veut établir l'égalité, d'autres grandeurs auxiliaires dont l'égalité est évidente ou peut être rendue telle; les nouvelles grandeurs qui résultent de cette opération étant alors identiques ou simplement équivalentes.

A cette méthode se rattachent encore les démonstrations où l'on décompose les deux grandeurs considérées en un même nombre (limité ou illimité) de parties que l'on prouve être égales ou équivalentes deux ù deux; la méthode prenant alors le nom de méthode par décomposition.

APPLICATIONS

Les éléments de géométrie présentent plusieurs applications de la méthode actuelle. Nous citerons comme exem]>lo les théorèm(>? relatifs au

PREiMiÈRE PARTIE. II

triangle rectangle, et plusieurs propositions relatives à la mesure des solides.

8. SIXIÈME mÈTllOli'E.— Par les li/iiitcs .— Celle méthode est fondée sur la définition même de la limite d'une grandeur variable : elle consiste à substituer aux grandeurs A, B, C,..., entre lesquelles on veut établir l'existence d'une certaine relation, des grandeurs variables a, b, c,... ayant pour limites respectives A, B, C,...; cherchant ensuite la relation

qui existe entre les grandeurs a,b,c,...,et examinant ce que devient cette relation (.r) quand «, b, c,... convergent simultanément vers leurs limites A, B, C,..., on obtiendra enfin la relation

qu'il s'agissait de trouver.

Remarque. — Les éléments de géométrie présentent un grand nombre d'applications de cette méthode.

9. SEPTIÈME MÉTHODE. — Par la réduction à l'absurde. — Dans cette méthode on établit entre les grandeurs considérées les relations affirmées par l'énoncé , en faisant* voir que toute supposition de relations différentes conduirait à des conséquences opposées aux données de la question , ou absurdes en elles-mêmes.

Cette méthode ne doit , au point de vue de l'élégance géométrique , être employée que dans le cas où elle fournit une démonstration plus simple que la méthode analytique ordinaire , et particulièrement pour les cas où celle-ci serait insuffisante ; car // est visible que ces sortes de démonstration peuvent convaincre P esprit, mais non pas l'éclairer, ce qui doit être cependant le principal fruit de In science. (Logique de Port-Royal.)

APPLICATIONS

Théorème. — Deux polygones circonscriptibles et d'un même nombre de côtés sont égaux si les distances de leurs différents sommets aux centres des cercles inscrits sont égales deux à deux et se succèdent dans le même ordre.

iV. B. Le théorème suppose en outre que chacun des deux polygones enveloppe complètement le cercle inscrit correspondant.

Démonstration. — On aperçoit immédiatement que l'égalité des deux polygones entraîne l'égalité des rayons des cercles inscrits, et que réciproquement , s'il était établi que les rayons des cercles inscrits sont égaux , il en résulterait l'égalité des deux polygones, qui seraient alors composés d'un même nombre de triangles rectangles égaux ( comme ayant Thypoténuse égale et un côté de l'angle droit égal ) et se succédant dans le même ordre. 11 suflûra donc d'établir l'égalité des rayon? /•, /'.

Siipj)usuiis, à cet olTct, que 1 on iiit

Soient ABC...L, A'B'C'...L' les deux polygones; 0, 0' les centres des cercles inscrits desquels nous abaisserons Or/, 0/v,,.., 01 clO'a'^O'b',..., 07' perpendiculaires respectives à AB , BC,..., LA et à A'B', B'C',.--, L'A'; joignons enfin les centres 0 et 0' aux différents sommets des deux polygones. La comparaison des triangles rectangles AO^, A'0'«', dans lesquels les hypoténuses OA, O'A' sont égales et les côtés Oa, O'a' sont inégaux, montre que les angles A0«, A'O'^' sont inégaux; et d'ailleurs suivant que l'on aura

■^r', c'est-à-dire Oa-^O'a',

on aura

on verrait de môme que on a donc , en ajoutant , on aurait de même

AOrt^A'Ô'^':

aOh^a'O'W:

AOB^A'O'B';