BOC^B'Ô'C

LOAjL'O'A'.

Par suite, en ajoutant ces inégalités membre à membre, on arriverait à ce résultat, que la somme des angles formés autour du point 0 serait différente de celle des angles formés autour du point 0', conséquence absurde, puisque chacune de ces sommes est égale à quatre droits. Donc on a nécessairement r = ;•', et le théorème se trouve démontré.

TuÉORKME IL — Deux polygones iiiscj-iptibles et d'un nu'uie nombre de côtés sont égaux quand les distances à leurs côtés ivspectifs des centres des cercles circonscrits sont égales deux à deux et se succèdent dans le même ordre.

La démonstration est entièrement analogue à la précédente ; elle consiste à établir, par la même méthode, l'égalité des rayons des cercles circonscrits. [Nouvelles Annales de Mathématiques , 1848, page 61.)

-10. HUITIÈME MÉTHODE. — Par ///ctv.svV//?. — Cette méthode consiste à prendre i)0ur données d'imo nouvelle question auxiliaire les inconnues de la question i)roposée,les données do celle-ci devenant les inconnues de la question auxiliaire. Si l'on résout directement cette dernière , on obtiendra une figure semblable à celle que l'on devait construire pour résoudre

PKËIIIIEKË PARTIE. I 3

le problème proposé , qui n'olTrira plus dès lors aucune diflloulté. [Ex<nncri (les elijlfércntcs méthodes, page i6. )

La méthode actuelle pourra être employée avec avantage dans la plupart des problèmes ayant pour objet de construire une figure semblable à une figure connue , et ayant avec une autre figure donnée certaines relations de position spécifiées dans l'énoncé.

On peut d'ailleurs, dans certains cas, diriger la construction du problème inverse de manière à obtenir immédiatement certains éléments principaux suffisant pour déterminer la figure que l'on avait à construire dans le problème primitif. On en verra un exemple dans le second des problèmes suivants.

APPLICATIONS

Nous prendrons, comme application de la méthode, l'exemple choisi par M. Lamé, en modifiant seulement la solution de la question auxiliaire.

Problème L — Inscrire à un quadrilatère donné (Q) un quadrilatère semblable à un autre quadrilatère donné (Q').

Solution. — Proposons-nous le problème inverse consistant à circonscrire a un quadrilatère donné (Q') un cfiadrilatère (Q) donné d'espèce.

Cette question auxiliaire est plus facile à traiter directement, et c'est de sa solution que nous allons nous occuper.

Soit abcd le quadrilatère cherché, circonscrit au quadrilatère A'B'C'D' (Q') et semblable au quadrilatère donné (Q).

^ A^ /\ Les angles f/, «, b étant donnés, les sommets r/, rt, b seront respectivement sur des segments capables d'angles connus construits sur les côtés D'A', A'B', B'C; si, de plus, nous joignons bd qui coupe en b' d' les segments construits sur B'C, D'A', nous reconnaîtrons que nous pouvons déterminer à priori les points //, <-/'; car le quadrilatère abcd étant semblable à un quadrilatère donné ( Q ), le triangle partiel abd ^ par exemple , est semblable à un triangle donné; les angles abd ^ adb sont donc connus; et comme ils ont pour mesures respectives les demi-arcs B'Z^', A'r/', nous pourrons, par une construction simple, obtenir chacun des points //,<-/'. Cela posé, la droite b'd\ joignant ces deux points , ira couper une deuxième fois les segments construits sur B'C et D'A' suivant les points />>, <■/; nous aurons donc deux sommets opposés ^, r/du quadrilatère cherché, et le problème auxiliaire sera résolu.

Enfin, si nous revenons au problème primitif, il nous suffira, pour le résoudre, de diviser les côtés du quadrilatère ABCD (Q) dans des rapports égaux aux rapports des segments que les points B', C, D', A' déterminent sur les côtés «/^, /;c, rc/, da de la figure i)récédcnle, et de joindre les points do division.

DES AlÉTIIODES EN GÉOMIÊTRIE.

Remarque. — Le problème proposé a huit solutions. Car, si nous examinons le nombre des solutions du problème auxiliaire nous trouverons que :

1°. En supposant dabord que l'angle a s'appuie sur le côté A'B', nous pouvons supposer : soit que les angles /.' et d s'appuient respectivement sur A'D' et sur B'C, ce qui fournit une première solution; soit au contraire que b ci d s'appuient respectivement sur B'C et A'D' comme dans notre figure, ce qui fournit une seconde solution (cette seconde solution

rentrerait toutefois dans la première, si l'on avait a la fois o — r/, et cercle A'r/D'= cercle C'Wb', c'est-à-dire A'D'=B'C'). 1°. On aura de même trois autres systèmes de deux solutions fournis

successivement par l'hypothèse que l'angle a s'appuie sur les côtés B'C, CD', D'A', au lieu de s'appuyer sur le côté A'B'.

Le problème aura donc huit solutions dans le cas général. Problème IL — On propose d'inscrire dans un ti'iangle donné un triangle dont les côtés soient ])araUèles à des directions données. Solution. — Construisons un triangle Tiinp ayant ses côtés parallèles à ceux du triangle cherché, et dont les sommets c w, n soient situés sur les côtés AC, AB. On

voit immédiatement alors que, si par le sommet p de ce triangle on menait la droite bc parallèle à BC , on obtiendrait une figure A Zv, mnp semblable à celle que l'on veut construire, et semblablement placée : ces deux figures ayant d'ailleurs le point A pour centre de similitude , il suffira , pour obtenir le sommet P du triangle cherché, de prolonger la droite A/; jusqu'à son intersection avec le côté BC, et le problème se trouvera résolu.

H. NEUVIÈME MÉTHODE. —Par les lignes , les aires ou les volumes auxiliaires. - Cette méthode consiste à employer comme auxiliaires , dans la recherche d'une relation entre des grandeurs d'une certaine espèce (lignes, aires ou volumes) des grandeurs d'espèce différente (aires, volumes ou lignes) entre lesquelles on pourra mettre en évidence des relations contenant implicitement celles que l'on cherchait à établir entre les grandeui*s de la première espèce.

La mesure des aires et des volumes qui permet d'exprimer ces grandeurs par le produit des nombres qui représentent certaines de leurs dimensions linéaires, conduit naturellement à substituer à la comparaison de deux aires ou (le deux ^olumes la comparaison d'un certain nombre de lignes, dont on n'a {)lus ensuite qu'à composer les rapports.

Cette substitution est, comme on sait, d'un usage très-fréquent dans les éléments, où elle fournit en général des démonstrations beaucoup plus simples que ne le ferait l'étude directe des grandeurs que l'on envisage : c'est ainsi que l(>s théorèmes relatifs aux aires que l'on peut construire sur