ABC (") B-C-Â

Mais deux triangles qui ont un angle égal ou supplémentaire sont entre eux comme les produits des cotés qui comprennent cet angle ; on a donc les valeurs suivantes pour chacun des rapports qui entrent dans la formule (2) :

A Ar r/.

B ~ B r ' rrt '

B Brt ^

C Ca al)

C C/; ba A~ Ab' bc'

Multipliant ces égalités membre à membre , substituant dans l'identité (2} et simplifiant, on trouve la relation qu'il s'agissait d'établir.

Théorème II. — Les droites qui joignent les sommets d'un triangle à un mcnw point déterminent sur les côtés opposés six segments ; le j)j-oduit de trois segments non adjacents est égal tai /Jrodidt des trois autres.

Démonstration.

DES .METHODES EiX GEOMETRIE.

Soient ABC lo triangle et o le point considérés; désignons par (t, a\ b, b\c, c\ les aires des triangles ayant pour sommet commun le point o et pour bases les différents segments pris dans leur ordre de succession , en faisant le tour du triangle à partir du sommet B dans le sens BCA. On aperçoit immédiatement les relations suivantes :

Ca h'

Cb kb

Ar Br'

d'où, en multipliant membre à membre,

r' Xb.^c.Cn

D'un autre côté, comparant deux à deux les aires n, /;, c avec celles des aires (^/', //. r' qui ont un angle commun avec les premières, on trouve

a oB . ort b oC . oh r oX . or b' oA.oh c' oB . or a' oC . on

Donc, en multipliant membre à membre et en simplifiant, il vient

Enfin , la comparaison des relations ^ i ) et ( 2 ) démontre le théorème énoncé.

TnÉORiiME III. — Soient 0 le sommet cVun angle solide d'ortacdre régu- /icr, et (I , b , r , d les points suivant lesquels les arêtes issues du jmint o

sont c(>i'])('cs par un plan (lurlronque ; on a rettc égalité

LÉv\.

DéinonstJ-ation.

on a l'identilé

pyram. oarb

Menons les diagonales ar ^ bd du quadrilatère abrd;

-r- jn'ram. oard = pyram. obda + pyram. obdr.

D'ailleurs deux quelconques de ces [)}ramides sont entre elles comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs ; et , en choisissant pour bases les triangles aoe ou bod dont les angles en o sont égaux, on verra que les bases sont entre elles comme les rectangles oa.or et ob.od\ quant aux t hauteurs des quatre pyramides, elles sont entre elles comme les segments ob ^ od^ on, oc\ donc, en (li\isant les deux membres de l'identité précédente par un même nombre, on aura

ob . oa . or -\- od . oa . or — - oa . ob . od -\- or . oh . od ;

PKKAllEKl': PARTIR.

OU, en «livisanl cIihijup tcime par ie pi'oduit, oa .oh.at- .od ,

on ne oh od

[Nom'cllcs Annules de MatliéinatKiucs^ i853.)

12. DIXIÈrai: MÉTHODE. — Parles solides auxiliaires. — Cette méthode consiste à faire intervenir la géométrie à trois dimensions dans la solution d'une question de géométrie plane. Elle possède en général hî précieux avantage de fournir des solutions et démonstrations intuitives des problèmes et théorèmes auxquels on a su l'appliquer : dans cette méthode, en effet, si l'on veut, par exemple, établir une propriété déterminée d'une figure plane , on considère cette figure comme la base d'un édifice dont on règle la construction comme on le veut, sans être arrêté par aucune des exigences ordinaires des données de la question ; et , si l'imagination de l'architecte a été heureusement inspirée , il n'a plus qu'à s'élever au-dessus de son œuvre pour apercevoir nettement, dans les harmonies de l'ensemble, les propriétés particulières de la figure qu'il considérait d'abord.

De grands géomètres se sont servis avec avantage de cette élégante méthode : Desargues d'abord , qui l'employait à peu près exclusivement dans ses démonstrations ; Pascal , dans la rectification des roulettes [voir ci-après le chapitre VI), et Monge dans l'établissement des propriétés des pôles et des polaires pour les courbes du second degré.

APPLICATIONS

Première question. — Problème. — Mener, par un point donné c, une droite co allant passer par le point de concours inaccessible de deux droites données ao et bo.

Solution. — Le problème étant supposé résolu , regardons les droites «o, bo , co comme les projections sur le plan de la figure des arêtes d'un angle solide trièdre 0, et concevons que celui-ci soit coupé par deux plans parallèles qui y déterminent deux sections triangulaires à côtés parallèles ABC, A'B'C. La projection de cette figure auxiliaire sur le plan de la figure primitive se composera des droites ao , ho , co et des triangles abc , a'b'c\ dont les côtés de même nom seront parallèles, et dont les sommets «, «'; b, b'; r , c' seront situés deux à deux sur les droites ao , bo^ co. Or ceci suffit à la solution du problème : car le triangle abc peut être regardé comme donné ; et pour construire le triangle a' b' c', il suffira de tracer dans la portion accessible des droites «o, bo , a'b' parallèle à ah; et de mener enfin par a' et h', parallèlement aux droites ac et hc , des droites qui se couperont en c' et détermineront un second point de la droite cherchée cc'o.

Seconde question. — Problème. — Mener, parallèlement à une dire< - (ion donnée dd', une droite co allant passer par le point de concours inaccessible de dcii.r droites données no , ho.

i8 Di:s Mj^rniouKs ex géométuie.

Solution. — Imaginons oncoro un angle triodro 0 déliai coiume précédemment ot coupé par les |)lans pa-

'i 'L rallèles ABC, A'B'C. Regardons le

triangle A'B'C comme la base su pé- ) rieure d'un prisme auxiliaire ayant pourarèteCC'((jui roprésenle la droite cc'o dont la direction est connue); et soit A, B, C la base inférieure de ce prisme ; A, B, C sera inscrit dans l'angle ACB et sera égal et parallèle à A'B'C. Si nous passons maintenant de la figure de l'espace à sa projection, nous parviendrons facilement à cette construction : Tracer dans la partie accessible de ran^le aob les parallèles ah, a'b' ; par a' et b', j)arallcle?ne/it à dd\ mener les droites indéfinies a'a^ et b'b^ ((ue Von coupe par une transversale r/, /;, parallèle à ah ; mener enfin les droites aa^ , bb^ ([ui se coupent en un point c aj>pa?tcnant à la droite cherchée cc'o. On \m:'\\\ A' ?i\\\^x\V's.i?\ on le veut, obtenir un second point r' de la même droite, en achevant la construction du triangle a'b' c' parallèle à abc.

Troisième qiestion. ^ Théorème. — Propriétés des pâles et des polaires dans les cnniipies.

Soient AEBF une section conique quelconque et CD une droite située dans son plan. Concevons que la courbe tourne autour de l'un de ses axes AB, de manière à engendrer une surface de révolution, et conce- Aons les deux plans tangents à cette surface menés par la droite CD; ces plans auront leurs {.oints de contact particuliers C et D', et la droite Ç^'Vi' sera perpendiculaire au plan de la courbe AEBF, et rencontrera ce plan en un point déterminé N. Cela posé, si l'on conçoit le cône ayant pour sommet un point rpwlconquc 11 de la droite CD et circonscrit à la surface de révolution, il touchera cette surface suivant une courbe passant nécessairement par les deux points C'etD'. Cette courbe, C'...D', sera plane; son plan, qui contiendra la droite C'ND' perpendiculaire au plan de la section AEBF, coupera ce dernier suivant une droite EF passant par le point déjà déterminé N, et cette droite EF sera précisément la corde réunissant les points de contact des tangentes menées à la section conique par le point H. On retrouve donc ainsi l'une des pro]iriétés des pôles (N) et des polaires (CD) dans les courbes du second degré. [J'oir les Séances des Écoles normales , tome II, page 356; Mo.nge.)

Quatrième question. — Théorème de Bria.nchox. ' Soit abca'b'c' un hexagone circonscrit à vuie ellipse (E).

PKËiMIKKK PARTIE. iq

Regardons les côtés de cet hexagone comme les projections, sur le plan (le l'ellipse, do six génératrices rectilignes d'un hyperboloïde auxiliaire à une nappe dont l'ellipse proposée serait l'ellipse de gorge. Toutefois, comme chacun de ces côtés reçoit la projection de doux génératrices do la surface, nous entendrons que deux côtés consécutifs de l'hexagone reçoivent les projections de deux génératrices de systèmes différents, lesquelles se rencontrent, par conséquent, sur la perpendiculaire au plan do l'ellipse donnée, menée par l'extrémité commune à ces deux côtés.

On aperçoit facilement alors que les six génératrices forment un circuit fermé, ou un hexagone gauche ABCA'B'C'A, et que les côtés opposés de cet hexagone sont deux à deux dans un même plan. Il en résulte que les diagonales AA', BB', ce, qui joignent les sommets opposés de l'hexagone gauche, sont deux à deux dans le même plan.

Or, si l'on supposait un moment que ces diagonales se coupent deux à deux en des points différents, 7, a, [5, on en conclurait que les six points A, B, C, A', B', C sont dans un même plan, ce qui n'est pas; donc les diagonales de l'hexagone gauche se coupent en un môme point 0; donc il en est de même de leurs projections, c'est-à-dire des diagonales r/n\ bb\ ce' de l'hexagone plan abcn'b'c'. c. q. f. d.

Scnlic. — On démontrerait avec la même facilité et par les mêmes considérations que : Si dans un polygone de 4 /« + 2 côtés , circonscrit a une conifjue , 2 m diago?ialcs , joignant les sonnnets opposés , se coupent en un même point o , la dernière diagonale passera aussi par le point o. La condition que le nombre des sommets du polygone soit de la forme 4 '« 4- ">■ résulte, dans ce mode de démonstration, de la nécessité que la génératrice initiale et la génératrii-e extrême soient de systèmes différents et puissent, en se rencontrant, fermer le circuit.

Cinquième question. — Théorème de Pascal.

Le théorème de Pascal se déduit avec la même facilité de la figure précédente.

Observons, en effet, que les plans ABC, A'B'C; BCA', B'C'A; CA'B', C'AB se coupent deux à deux, suivant trois droites situées dans un même plan P (et ce plan P est déterminé par les trois points AB A'B', BC B'C, CA' C'A). Les traces de ces plans sur le plan de l'ellipse de gorge se couperont, par suite, deux à deux, suivant trois points situés en ligne droite (et cette droite sera la trace du plan P sur le plan de l'ellipse de gorge). Or ce résultat démontre le théorème en question, car les trace? dont nous parlons sont précisément les côtés opposés d'un hexagone inscrit à l'ellipse de gorge, et dont les sommets coïncident avec les points de contact des côtés de Thexasiono circonscrit abca'h'r'.

20 DES NETHODCN EX GEOMETUIi:.

43. ONZIÈME méthode;. — P(ir la transjormation des figures. - Réflexions ^cnêrales sur F importance de cette méthode, — Cette méthode, l'une des plus importantes et des plus fécondes de la géométrie, est certainement celle cpii a le plus puissamment servi les géomètres de notre siècle dans leurs efforts pour reculer les bornes de la science de leurs prédécesseurs. Ceux-ci paraissent l'avoir à peu près ignorée, et c'est à peine si quelques-uns l'emploient accidentellement, dans des applications isolées : Cavalleri , par exemple, en faisant naître la parabole du second degré de la spirale d'Archimède par un mode particulier de dérivation qui , n'altérant pas les éléments superficiels correspondants des deux figures, lui permit de déduire de l'expression connue des aires paraboliques celle des aires spirales ; Grégoire de Saint- Vincent et Pascal , qui traitèrent le même sujet avec de grands développements; Newton, qui donna, en passant, les formules qui servent de base à la construction des figures homologiques; et Maclaurin, qui appliqua à divers sujets de géométrie et de mécanique la méthode si féconde et si rapide des projections.

Dans notre siècle, au contraire, déminonts géomètres, parmi lesquels nous citerons ÎNIM. Poncelet, Chasles et Ch. Dupin, ont cultivé cette méthode avec une sorte de prédilection. Ainsi chacun connaît les élégantes transformations par lestîuelles M. Ch. Dupin (*) est parvenu à une déduction si lumineuse des théorèmes d'Euler et de Monge sur la courbure des surfaces, ainsi que les belles et nombreuses propriétés des courbes et des surfaces du second degré, découvertes par MM. Poncelet (**) et Chasles (***), à l'aide de transformations purement géométriques.

C'est donc de nos jours seulement que cette méthode a réellement pris naissance ; et , des fruits quelle a déjà portés , des rapprochements inattendus qu'elle établit si fréquemment entre des figures diverses, il est permis de conclure qu'elle constitue la véritable méthode en géométrie, et doit le mieux contribuer à agrandir indéfiniment le champ des vérités géométriques, sans introduire, par ce nombre considérable de vérités nouvelles ajoutées à celles déjà acquises, aucune confusion dans la science. Elle aura , en effet , pour point de départ l'ensemble des vérités simi)les . élémentaires qui doivent être toujours présentes à l'esprit, et pour instruments les divers modes de transformation déjà découverts et que leur classification permettra d'appliquer à telle figure déterminée que l'on aura à envisager.

Nous allons donner, comme exemple de la méthode actuelle, les principes relatifs à la transformation des figures par rayons vecteurs réciproques , et leur application à plusieurs propositions de géométrie plane et sphérique.

(*) Dêvelo/ipemenls de Géométrie.

C * ) Traité des propriétés projecin'es.

(***) Mémoire sur deux principes généraux de la science : Ln Dualité et l'Homographie.

PRE.MIKKË PAUTIE. 2 1

Celte partie de notre travail ne sera pas inutile, si l'on trouve (jue le nouveau mode d'exposition de la trij^onométrie sphéri((uc ((u elh; rcsnleroK; permet d'établir dans un parallélisme j)lus complet les formules analyticpies relatives aux triangles sphériques, et leurs principales propriétés géométriques; car c'est là, ce nous semble, le critérium de l'excellence de telle ou telle méthode appliquée à un [troblème donné : que la source à laquelle le calcul vient puiser ses formules successives serve en mémo temps de centre aux investigations de la géométrie.

CIIAPITKK 11.

De la transformation des figures par rayons vecteurs réciproques.

i? 1. —Principes GÉiNÉnAux relatifs a la tr.vnsformatio.n des figures

PAR rayons vecteurs RÉCIPROQUES.

1 i. Di'Jinitiniis des figuras réciproques. — Poi/it-origiiic. — Puissance. -— Deux points m et /// sont dits réciproques par rapport à un point u , appelé point oi-i^ine, et suivant une puissance P, positive ou négative, lorsqu'ils sont situés sur une même droite passant par le point o et que le produit de leurs distances à ce jjoint est égal à la puissance P.

Si le point /// se meut et engendre dans son mouvement une ligne L (ou une surface S), le point /// réciproque du premier, par rapport à une même origine et suivant une même puissance, engendrera une ligne L' (ou une surface S') réciproque de la première.

Enfin si l'on a un système quelconque do points isolés, de lignes et de surfaces formant une figure F, les points, les lignes et les surfaces réciproques, par rajjport à une même origine et suivant une même puissance , formeront une ligure F' réciproque de la première; et la transformation' par laquelle on passe de la première figure à la seconde porte le nom de iiujisfonndtiiiii par rayons vecteurs récijjroques.

1!5. Relation entre la distance de deu.c points d'uae fii^iirc çt la distance des points correspondants de la figure réciproque. — Soient /////, ni' n les distances de deux points correspondants des deux figures.

De la relation fondamentale

OUI . oni ' =. on . on ' -= P, on lire

OUI on' on om'

Les triangles ontii , on' ni' sont donc semblables et fournissent la proportion

nin ont

De là, en remplaçant om ( ou on') par sa valeui- — ( ou — ) < il \ jenl

ou \ OUI ' I