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DES METHODES EX (iEO.METItlE

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Ainsi : L(t (listancc entre deux points de l'une des figures est égale à la distance des points correspondants de la seconde , divisée par le produit des rayons vecteurs qui aboutissent à ces derniers points, et multipliée par la puissance.

16. Théorème I. — Les angles correspondants sont égau.c dans deux figures réciproques.

Démonstration. — Lemme. — Le rayon vecteur cpù aboutit à deux points correspomUmts de deux lignes réciproques , coupe celles-ci sous des angles supplémentaires.

Menons en effet un rayon onn' \oisin du rayon nmni\ et joignons /««, m' n' .

L'égalité fondamentale

om.om' = on. on'

montre que le quadrilatère mnn' m' est inscriptible, et que, par suite, la somme des angles m et n' est égale à deux droits. D'ailleurs, si l'on suppose que le rayon onn' se rapproche indéfiniment du rayon omm'^ on voit : i° que la somme des angles /«', n' tend vers deux droits , et , par suite , que les angles variables m , m' tendent vers l'égalité ; 2° que dans ce rapprochement, les cordes correspondantes variables w«, m' n' tendant simultanément vers les tangentes mt, m' t' en m, m' aux deux lignes réciproques, les angles/», m' du quadrilatère variable w««'m' ont pour limites respectives les angles ni' mt^ mm' t' . Ces derniers sont donc égaux, et les angles omt ., om't' sont supplémentaires.

Cela posé, soient mt , mt^ les tangentes de deux lignes de la première figure qui se coupent au point /«; et m't', /«'/', les tangentes en m' aux lignes correspondantes de la figure réciproque. Nous supposons d'ailleurs mt et wV, w/, et wV, (qui sont deux à deux dans un même plan) , dirigées de part et d'autre du rayon omm' . Sous cette condition, les trièdres, formés aux points m et m' par les droites «w, mt .^ mt^ et /«'o, /«7', wV, , seront égaux, comme ayant un angle dièdre égal (dièdre suivant om = dièdre suivant ow'), compris entre des faces égales (à

savoir omt = om't et omt^ — om /,, ces égalités ayant lieu en vertu du lemme et à cause des directions opposées de mt , m't', de/»/, , m't', ). Les troisièmes faces

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sont donc égales, et l'on a

/«//, - t' ni t\.

Ce qui montre d'abord (|ue Wiiiglc formé jnir deux lignes d'une figure est égal à V angle des lignes correspondantes de la figure rccipro(fue.

Enfin, si dans la figure primitive on a deux surfaces S, S,, se coupant suivant la courbe ntn , et (jue par l'un de ses points /// on mène sur chacune d'elles les lignes /««, ///«,, coui)ant à angle droit la ligne commune /«« , l'angle des lignes nut ., nui^ mesurera l'angle sous kuiuel se coupent les deux surfaces au point m. Or, d'ajtrès ce qui précède, si l'on passe à la figure réciproque, les lignes ni a\ nia\ (réciproques de wrt, ;//«, ), couperont encore à angle droit la ligne ni n' comnume aux deux surfaces réciproques S', S'i : l'angle de ces dernières, au point///, sera donc encore mesuré par l'angle des lignes /«V/', ni a\; et comme ce dernier est égal à l'angle des lignes ///«, ///«,, on voit en second lieu que : L'angle de deux surfaces en un point m de leur courbe d'intersection est égal à F angle des suif aces réciproques au point correspondant ni.

CoROLLAlUE. — Si l'angle de deux surfaces demeure constiUtt tout le long de leur courbe d'intersection [et si, en particulier, cet (aigle constant est droit), il en sera de même pour les surfaces récipro<pu:s .

Scolie. — Le principe de la conservation des angles dans deux figures réciproques et la possibilité d'exprimer la distance de deux points (|uelconques de l'une de ces figures en fonction de distances qui se rapportent uniquement à la seconde, permettent fréquemment de substituer à l'étude de certaines propriétés métrapies et descrijjtives d'une figure, une étu^e analogue pour la figure réciproque.

Nous verrons bientôt les avantages spéciaux que présente cette substitution dans l'étude des propriétés des figures sphériques.