Propriétés particulières de deux surfaces réciprotfues

Théorème II. — Deux surfaces récipnxpics ipudconques jouissent des propriétés suivantes :

i'^. Toute ligne de courbure de la première surface a pour ligne réciprofiue une ligne de courbure de la seconde ;

1°. Aux lignes déplus grande ou de plus petite courbure de la première correspondent les lignes de plus petite ou de jilus grande courbure de la seconde; et par suite à un ombilic de F une des surfaces correspond un ombilic de l'autre ;

3". Si l'on désigne par r, r' les rayons vecteurs (pii aboutissent à deux points réciprociues m, ni des deux surfaces; par p, p, les rayons de courbure des sections principales de la première surface en m; jiar ri, p', les rayons de courbure des sections principales correspondantes de la seconde surface en ni, on aura la relation

i4 I>ES MÉTHODES EX «ÉO.MÉTKIE.

4". Enfin , si Pan désigne par R , R' les rayo/is de voiiihtirc de deux sections narniales cnrresjjondanies des deux surfaces, on a, quelles (jue soient les sections considérées (uitour des points m, m', la relation

(B) rr 4- =r7 := ronstaiite.

Obscri'ation, — Nous ne nous anùterons pas à démontrer ces propriétés que nous avons dû énoncer parce qu'elles peuvent être utiles , mais qui ne sont pas essentielles à l'objet que nous avons en vue.

18. Théorème III. — Une circonférence a pour ligne réciproque , par rapport à l'un quelcotique de ses points pris pour origine , une ligne droite perpendiculaire cm diamètre origine.

Corollaire. — Une sphère a pour surface réciproque , par rapport à Vun ciuelconcpie de ses points , piis pour origine, un plan perpendiculaire fiu diamètre origi/w.

Remarque. — Il est peut être inutile d'ajouter que, par inversion , une droite et un plan ont pour réciproques une circonférence et une sphère.

19. Théorème IV. — Une circonférence a pour ligne réciproque , par rapport à un point quclcompie de son plan, pris pour origine , une seconde circonféjx'ncc.

Corollaire I. — Une sphère a pour su? face réciprorpie par rapport h un point quelconcpie de l'espace, pris pour origine, une seconde sphère.

Remarque. — Les centres de deux circonférences , ou de deux sphère^ réciproques, sont sur une même droite passant par l'origine.

Corollaire II. — La ligne réciprorpie cPune circonférence par rapport h un point cpudconcpie de F espace, pris pour origine, est une circonférence.

Il suffit, pour le démontrer, de regarder la circonférence donnée comme l'intersection de deux sphères auxiliaires S, S,. Car la ligne réciproque de cette circonférence devant coïncider avec l'intersection des sphères S', S', réciproques des premières, sera elle-même une circonférence. [Nouvelles Anmdes de Mathématiques , i854 , p. 238.)

20. Nouvelles définitions. — Relations entre une figure sphérique et sa projection stéi-éographicpie .

On sait que l'on appelle projection stéréographirpie d'une figure sphérique , la projection { ou perspective) de cette figure que l'on obtient en prenant pour centre de projection (ou point de vue) un point delà sphère, et pour plan de projection (ou plan du tableau) le plan diamétral perpendiculaire au rayon qui aboutit au centre de projection- Or, de cette définition et du corollaire du théorème III, il résulte que la transformée, par rayons vecteurs réciproques, d'une figure sphérique coïncide avec sa projection stéréographique lorsque, \ origine Ùlq?, rayons vecteurs coïncidant avec le point de vue , on suppose la puissance égale à deux fois le carré du rayon de la sphère. La transformation des figures sphériques par projection stéréographi-

prehiikkk partie. id

qiio étant dès lurs un cas particulier de la transformation par rayons vecteurs réciproques, on peut, eu réunissant les résultats précédents, énoncer ce théorème :

Théorème V. — Étant données une figure .spliéri(jue et sn projection stéréogiripJiiquc :

i". On peut exprimer (d'après la formule (A') du n^lS, page 22), la distance entre deux jmints qiielcnnrpies de la figiav projetée , en fonction de distances prises uniquement (htns la figure spliérupie ; 2". Les angles correspondants des deux figures sont égaux; y. Un cercle de la figure sphérifjue a pour projection stéréographique un cercle ;

4°. Enfin, le centre du cercle projection coïncide avec la projection du sommet du cône ciirnnscrit à la sphère suivant le cercle primitij.

Cette dernière remarque , que l'on doità M. Chasles, constitue un théorème important par ses nombreuses applications ; pour cette raison , nous en donnerons deux démonstrations, l'une plus élémentaire, et l'autre déduite du corollaire du théorème I.

Première démonstration. — Soient sm une génératrice du cùne circonscrit à la sphère suivant le cercle considéré; s' et m' les projections du sommet du cône et du point m du cercle suivant le centre de projection stéréographique o; joignons s' m'. D'après le lemme du théorème I (ou par une démonstration directe fort simple), ms étant tangente à la sphère, le rayon vecteur om' m coupe, sous des angles supplémentaires , la tangente ms et sa projection m' s'. Les triangles om's\ oms ont donc l'angle commun o et les angles en m' et m supplémentaires : par suite ( d'après un théorème qui manque dans les éléments de géométrie), les côtés de ces triangles, opposés aux angles égaux et supplémentaires, sont proportionnels, et l'on a

s' m' os' ,, , , , os'

= — , d ou v m — sm • — ;

s/Il os os

et comme la génératrice du cône Av« conserve une valeur constante, que 05', os sont des grandeurs fixes , on voit que le point m', projection du point //.■, décrit une circonférence dont le centre est .v', projection du point .v.

Seconde démonstration. — Imaginons une sphère auxiliaire S, ayant pour centre le sommet .v du cône circonscrit à la sphère S suivant le cercle considéré , et passant par ce cercle. Celui-ci sera dès lors l'intersection des deux sphères orthogomdcs S, S,. Or, si l'on forme la figure réciproque par rapport au point o de la sphère S, celle-ci se transforme suivant le plan diamétral de projection P, et la sphère S, est remplacée par une sphère S',, dont le centre est quelque part sur le rayon o.v, et qui est d'ailleurs coupée orthogonalemoni jiiiK lo plan P (corollaire du théo-

ab DKs MÉTii((UKs E.\ <;i';<»iétiue.

rème I). Otto dernière eircoiistaïue e.\ij;e (iiic le centre de la splière S', soil !?ituéd<ms le [ilan P, et eoïncide [>ar (•onséquent avec lo point v' [îiojection du sommet a-. Le cerele primitif, inters(;ction des sphères S, S,, a donc pour réciproque le grand cercle déterminé dans la sphère S', par le plan P; et celui-ci a pour centre le centre même de la sphère S', , c'est-àdire le point .v', projection du sommet du cône circonscrit.

Corollaire. — Etant donnés un cercle C et tu/ point intérieur o, on peut toujours [et (Pune infinité de manières d^dlleurs) le projeter ccntralemcnt suivant un cercle C ([ui ait jxtur centre le point o', projection du point donné o.

Il sufiit, en effet, pour satisfaire à cette double condition, do faire [tasser une sphère quelconque par le cercle donné, et de form(>r ensuite la projection stéréogra[)hique de ce dernier, en prenant pour point de vue l'un des deux points d'intersection de la sphère avec la droite qui joint le point donné o, au sommet du cône circonscrit à la sphère suivant le cercle donné.

Obscjvation. — Le mode de Iranformation par rayons vecteurs réciproques, employé d'abord jiar M. W. Thomson, sous le nom ùq principe des images, a été étudié par M. Liouville dans un beau Mémoire cjuc l'on trouve dans le Journal de Matliénuitiques , tome XII , page 275.

î^ IL — ApplicatioxN des principes précédents a diverses propositions

DE géométrie plane.

21. Transformation des propriétés descrijjtii'cs des /igures pla/u's composées de lignes droites ou circulfures.

La figure réciproque d'un polygone rectiligne abc... par rajtport à un point ([uelconque o de son plan, est un polygone curviligne a'b'c'..., formé par des arcs de cercle qui se croisent au point o : de celte remarque et du principe de l'égalité des angles dans deux figures réciproques, on déduit les propositions suivantes :

1°. La somme des angles d'un polygone circulaire o, a'b' c'..., est égal à autant de fois deux droits ipi^il y a de côtés moins deux dans le polygone.

'1°. Dans un triangle circulaire o, a' b' c', si Von mène par le point o cl par cluupie sont met un arc de cercle , divisant en deux parties égales V angle en ce sommet, qw perpendiculaire au côté circulaire opposé, les trois arcs hauteurs, ou les trois arcs bissecteurs ainsi obtenus, se couperont suivant les deux mêmes points.

3°. Le lieu géométrique du second point d'intersection de deux circonférences qui passent respectivement par les points fixes o et A, o et B, et qui se coupent sous un angle constant , est ufw circonférence.

Soit une figure plane composée de trois cercles qui se coupent dinix à deux : on sait que les cordes communes à ces circonférences, prises deux à deux, se coupent en un même point. Si l'on forme la figure réciproque on obtient ce théorème :

4". Etant données trois circonférences situées dans le ménw jdan , si, par un même point a, et par les points d'intersection de deux quclcon-'

PRK!»IIEKK PAKTIE. 37

iiues (l'entre elles, un jait passer un cercle, les trois ntnivelles circonférences ainsi obtenues se couperont suivant les deux mêmes j/oints.

Soit la ligure formée par lés dilTérentes normales d'une circonférence, qui passent toutes par le centre c. Formons la figure réciproque par rapport à un point ([uelconque , o , du même plan. Si l'on désigne par a et ù les extrémités du diamètre oc; par rz', b' , e' les réciproques de a^b,c, par rapport au point o, on verra facilement que le point c' est conjugué harmonique du point o, par rapport aux extrémités a' et 6' du diamètre o/;'t'«' de la circonférence réciproque. Car la relation

ca = cb

de la figure primitive entraîne la suivante dans la figure réciprocpio :

c a oc'.oa' oc' .ob'

on aura donc ce théorème :

5°. Les circonférences passant par un point fixe o ^ et coupant orthogonalement une circonférence donnée , se coupent suivant les deux mêmes points o et o', conjugués harmonicpics par rapport aux extrémités du diamètre cpie la droite 00' détermine dans la circonférence donnée. Considérons encore un angle fixe et tous les systèmes de deux circonférences tangentes entre elles et inscrites dans cet angle : le lieu des points du contact t de ces circonférences est évidemment la bissectrice de l'angle considéré ; et si , en outre , on mène , par un point fixe o , une circonférence tangente en t aux deux circonférences de l'un des systèmes, toutes les circonférences ainsi obtenues passerontévidemment par un point fixe o' (symétrique du point o par rapport à la bissectrice de l'angle ). Cela posé, la figure réciproque fournit ce théorème:

6". Si dans l'espace compris entre deux arcs de cercles qui se coupent , on inscrit iin(*injînité de systèmes de deux cercles tangents entre eux , le lieu géométrique de leur point de contact est un arc de cercle , et Penvcloppc de leur tangente commune se réduit à un point.

Proposons - nous enfin, comme application du corollaire du théorème V (page aG), de démontrer cette proposition :

7". Un polygone de 4 /« + 2 côtés circonscrit à un cercle , présentant 2/«-f- 1 diagonales qui réunissent les somnwts oj^pnsés , si -ini de ces dia-

28 DES .MÉT110m:S EX (iÉo.MÉTKIE.

gofifiles coiu'oHicnt c/i un même point , la dernière ilingo/tale pnsscni ellemême par le point de coneotirs de toutes les autres.

Il suffirait évidemment, pour établir celte proposition, de faire voir que l'on peut projeter la figure considérée de telle façon, que la projection de la dernière diagonale passe par le point 0, commun aux projections de toutes les autres. Donc, en vertu du principe contenu .dans le corollaire du théorème V (page 26), il suffira dY'tablir le théorème énoncé pour le cas où le point d'intersection 0 des im diagonales concourantes coïncide avec le centre du cercle inscrit au polygone. Soit donc ABC. . . KL abc. . . //, un polygone circonscrit d'un nombre pair.de côtés (nous n'ajoutons pas que ce nombre pair est de la forme 4 m-\-'i., la démonstration que nous allons donner devant nous conduire d'elle-même à cette condition), et dans lequel les diagonales B Z< , C t- , . . . , K / , L /, passent par le centre 0 du cercle inscrit : joignons AO, «0, et établissons que la somme des angles formés d'un côté de la ligne XOa est égale à la somme des angles formés de l'autre côté de cette ligne ; ou , si l'on désigne en général p3nr F l'angle formé par la droite OF avec le rayon qui aboutit au point de contact de l'une des tangentes issues du Sommet F, démontrons l'égalité

A-^iB-\-'2.C-{-...-\-iK-\-'i.L + n = a + -3.b-\-ir + ... + o.K-h'i.t + A;

ou, en simplifiant, légalité

Or, les lignes BOZ»,..., LOI étant droites, on a les égalités

(A) 600 = ^0^, DOE = r/0^',..., KOL=/0/;

ou , en remplaçant chacun de ces angles , tels (pie DOE . par sa valeur, D + E,

Ajoutant toutes ces égalités membre à membre, on irou\e légalité {.r), et le théorème se trouve démontré.

Remarque. — Pour que la combinaison des relations (B) onlraîno l'égalité (.r), il faut et il suffit que les angles qui entrent dans les relations (B) soient tous différents; et, par suite, que les angles entre lesquels existent les relations (A) n'aient aucun côté commun. D'oîi l'on voit que si le nombre des égalités (A) est /«, les rayons OB, OC,..., OK- OL seront

PKEMIEHE PARTIE. ^9

au nombre de i m , les sommets B , C ,..., K , L , ^, f ,...,/, / seront donc au nombre de 4'«; et en tenant compte des sommets A, «, on voit que le polygone doit avoir 4 '« -f- 2 sommets pour que la démonstration précédente réussisse.

22. Trnnsfnj-mcitinn des projmvtés métriques. — Dans un plan , le lieu géométrique des points m également éloignés d'un ^-' l)oint fixe r, est par définition une circonférence. Formant la figure réciproque par rapport à un point o du même plan , et désignant par m' et c' les réciproques des points m et r, on aura, d'après la for-

mule (A) du n" 15 (page 21),

et l'on voit que le rapport - — j- demeurera constant. Donc

I. Le lieu géométrique des points dont les distances à deux points fixes ont un rapport constant , est une circo/iférence.

Soient trois points en ligne droite et se succédant dans l'ordre «, b, c ; on a , entre les distances de ces points, la relation évidente

( I ) «c = nb + l)c.

Formant la figure réciproque, par rapport à un point extérieur o, on obtient un quadrilatère iuscriptible oa'b'c', et la relation (i) est remplacée par celle-ci :

l'.ob' ob'.oc'

qu'on peut écrire

( 'i. ) a' c'. ob' = o((' . b' c' -\- oc' . a' b'.

Ainsi :

2. Da/is un (juadiilatèir' inscrit à une circonférence, le rectangle des diagonales est écpàvalent h la somme des rec^ t angle s des côtés opposés.

3. Récipi-ocpiement , si un cpuulrilatère présente cette propriété , ses sommets o , a', b',c' appartiennent à une même circonférence.

Car la relation (2), ou ce qui revient au

même, la relation (i'), ayant lieu entre les dis-

~d t \ tances mutuelles des quatre sommets o, a\ b', c'

du quadrilatère considéré, si l'on construit les

points rt, è, c réciproques de a', b', c' par rapport au point o, on aura, entre

les distances de ces nouveaux points , la relation ( i ) ,

ne = ab 4- bc

3o 1>KS >lÉTIiOD!':S EX GÉOMÉTRIE.

Les points <i^ h, c sont donc en ligne droite; et, par suite, les points f/', //, <■' appartiennent à une circonférence passant par le point o, et le quadrilatère on h' c' est inscriptiblc. c. O- k. d.

Entre les distances mutuelles des points «, b^ c en ligne droite et leui-s distances à un point extérieur o, existe la relation connue

on . bc -\- oc .ab = ob . ne + nb. l>r. ne.

Si l'on forme la figure réciproque par rapport au point o lui-même , on retrouve le théorème qui donne l'expression du rapport des diagonales dans im quadrilatère inscrit.

Considérons enfin un nombre quelconque de points en ligne droite <7 ,/;, r ,...,/•,/ ; ils fournissent la relation

nb -{-bc -r- ...-^ kl — ni.

Formant la figure réciproque par rapport à un point extérieur o, et transformant la relation qui précède, on obtient ce théorème :

4. Si l'on a un nombre (palconque de pointa situés sur une mémo circonférence et se succédnnt d/ins V ordre o, n, b, c,..., k, / , entre les distnnces mutuelles de ces points existe la relation

nb bc kl al

on.ob ob.oc '" ok.ol aa.ol

Si le polygone ayant pour sommets les points «, A, r,.... /■, / devient régulier, la relation se simplifie et l'on a ce théorème :

5. Si abc... kl est un polygone régulier et o un point du cercle circon- \r ri t conijnis entre les soinntcts n et l , on a la relation

oa .ob ob .oc '" ok . ol on . ol

Scolie. — Les théorèmes généraux de M. Chasles sur des systèmes de points situés en ligne droite ( Géométrie supérieure, page 229) fourniraient , par des transformations analogues, des théorèmes correspondants sur des systèmes de points appartenant à une même circonférence.

§ in. — Appucvtion a la trigonométrie sphérique.

23. Énoncé de diverses propriétés des triangles sphéricptes , et consé- (lucnces de ces propriétés. — Les triangles sphériques jouissent de nombreuses propriétés analogues à celles des triangles rectilignes. Ainsi : Les trois nrcs de grand cercle menés par les milieux des côtés perpendiculairement h ces côtés, se coupent suivant les deux mêmes points , extrémités d'un diamètre de la sphère; il en est de même des arcs joignant clim/uc sommet au milieu du côté opposé , des arcs passant par chaque sommet et perpendiculaires nu côté opposé, et enfm des arcs qui divisent en deux parties égales les angles du triangle.

PREiMlKUK PARTIE. 3l

Les démonstrations q\ie l'on connaît do ces propositions sont très-simples (*), et il n'y auniit pas a\antage à leur en substituer d'autres que l'on pourrait sans doute déduire des prinrifies précédents. Nous ferons d'ailleurs en passant cette remarque, que toute propriété descriptive (Vtin triangle sphériqiie fournit immédiatement une propriété analogue pour un système de trois eireonjérenees qui se coupent deux h deux diuis le même plan.

Ainsi , par exemple, de ce que les trois arcg hautem-s d'un triangle sphérique se coupent suivant les deux mêmes points, il résulte que trois circonférences se coupant deux à deux dans le même plan , si, par les points communs a deux d'entre elles , on mène une circonférence coupant orthogonalemcnt la troisième , les trois nouvelles circonférences ainsi obtenues se couperont suivant les deux menus points. (Pluckeu. )

Il suffit en effet, pour parvenir à ce théorème, de joindre au principe rappelé plus haut cette observation, que trois circonférences qui se coupent deux à deux dans le même plan , peuvent être considérées connue les projections stéréograpinques des trois côtés cVun triangle sphéricpie.

24. Démonstration du théoi-ème de Lexell. — Enoncé d'un théoj-ème de M. Steiner. — Consti-uction du demi-excès spliérique.

Théorème de Lexell. — Le lieu géométrique des sonnnets des triangles sphériques de même base et de surfaces équivalentes , est un petit cercle de la sphère , passant par les points diamétralement opposés aux extrémités de la base.

Démonstration. — Soient ABC l'un des triangles que nous avons à considérer, et

l'excès sphérique donné mesurant l'aire de ce triangle. Soient « le centre de la sphère, A' et B' les points diamétralement opposés aux extrémités de la base donnée AB ; et formons la projection stéréographique de la figure en prenant pour centre de projection le point A'. Le triangle ABC a pour projection un triangle abc dont les côtés ab et ac sont rectilignes , le premier étant fixe et le second mobile autour du centre a. Le troisième côté bc est un arc de cercle passant par les points fixes b et b\ projections despoints B, B'. D'ailleurs si l'on mène les droites ft/, et tangentes en b, c à l'arc bcb'., les angles en a., b, c du quadrilatère rectiligne abct .^ étant respectivement égaux aux angles A, B, C du triangle sphérique, on aura, ea

désignant par t l'angle btc ,

A + B + C+î'=4'", ou A-\-B + C--i'^'=^'i.'^'-r,

(*) Théorèmes et problèmes de Géométrie, do la Fuémoire Cl Catalan ; 3*^ édition, pages 215 et suivantes.

et do là. en \(Mfu do la relation donnée (t).

Or, si l'on mène la corde b'c^ et que l'on désigne par

b' l'angle inscrit bb'i\ on

verra : i° que l'angle t a pour mesure i8o degrés moins l'arc bc évalué en degrés ; 1° que ce dernier arc mesure le double de l'angle

b', et que , par suite , on a l'égalité

La comparaison dos relations (2) et (3) montre donc que le demi-excès

spliérique E est mesuré dans la projection par l'angle b' ou b b' c : cet angle est donc constant , et comme le côté b'b est fixe , ainsi que le sommet b', on voit que, dans la projection, le lieu géométrique des sommets c des triangles abc est une ligne droite passant par le point b'. Donc, en revenant à la figure primitive , on voit que le lieu géométrique des sommets C des triangles ABC, est la courbe déterminée dans la sphère par le plan mené par le point A' et par la droite b'c, c'est-à-dire un petit cercle de la sphère passant par les points A' et B'. c. q. f. d.

ConoLLAiRE I. — Du théorème précédent M. Steinor a déduit cette nouvelle propriété des triangles sphériques :

Les trois arcs de grand cercle passant par chacjtie sommet et dirisant l'aire du triangle en deux parties équivalentes , se coupent suivant les deux me nie s points.

Corollaire II. — Dans la figure projetée, l'angle inscrit bb' c qui mesure le demi-excès sphérique E, est égal à l'angle cbt, c'est-à-dire à l'angle sous lequel la droite bc coupe la circonférence bcb' . Il en résulte que le demi-excès est mesuré , sur la sphère , par l'angle du grand cercle BC avec le petit cercle déterminé par les trois points B , C et A'.

Cela posé, menons le grand cercle yf^I, passant par les milieux des côtés AB , AC et coupant en I le côté opposé BC ; traçons le grand cercle o!y.p perpendiculaire au côté BC en son milieu a, et soit, sur ce grand cercle, p le pôle du petit cercle A'BC. Les rayons r/7, op de la sphère étant respectivement parallèles aux cordes A'B, A'C, le point/? est aussi le pôle du grand oorclo Vf- 1. Il résulte do là : r que les arcs y î'-, a:c' sont complé-

PREiMlERE PARTIE. 33

mcntaires; 2"quo les angles a, «' étant droits, les arcs la, la' sont des quadrants , et que , par suite , l'angle I est mesuré par l'arc aa'. Or, si l'on mène maintenant l'arc de grand cercle pC, le triangle /JaC, rectangle en a et dans lequel l'angle en C est le complément du demi-excès , fournira cette relation :

sin C X = tang/^ x . cotang aC/-',

ou enfin

sin - = cotang ax'. tang E .

s n - = tang E . cotang I.

Cette formule démontre la construction suivante donnée par M. le professeur Gudermann : Prendre sur le côté BC , à partir du point I , F arc I M égal à la moitié du côté BC , et mener par le point M le grand cercle MN perpendiculaire h\W et terminé à Parc I^y; l'arc MN ainsi obtenu mesure le demi-excès sphérique.

Scolic. — Si la somme des angles du triangle ABC surpasse 4 droits , le point de concours t des tangentes en 6 et r sera situé du côté opposé à celui où se mesurent les angles de la figure projetée, qui sont égaux aux angles B et C du triangle ; toutefois les mêmes conclusions subsisteront encore. En effet , la somme des angles intérieurs du quadrilatère abtc ^ qui présente alors un angle rentrant en a , est encore égale à 4 droits; on a donc, en observant que les angles en « , i et c du quadrilatère ont pour valeurs 4"'— A, a"' — B et a"'— C, la relation

ou

Ç-+(4'ir A) + ('/"-B) + |

îE

On trouve facilomont d'ailleurs (3')

t = -xb' — %''' .

Et l'on voit, comme précédemment, que l'angle // ou ah' c est égal au demi-excès sphérique.

Il résulte de cette discussion le corollaire suivant, essentiel pour les applications que nous avons encore à exposer :

,SV ton considère un triangle sphéricpw ABC et le tricmgle rectiUgne abc,

3'i DES MÉTHODES EX GÉO.MÉTRIE.

dont les sommets sont les j^rojcrtio/is stén'ogrtip/iirjitrs [suivti/it le centre (le projection A' diamétralement opposé au sommet A ) des sommets du premier, les angles en a, b^ c du triangle rectiligne auront respectivement pour valeurs A, B — E, C — E, E désignant le demi-excès sphcrique.

Quant aux angles en a , h' et c du triangle ah' c, que nous aurons aussi à considérer dans ce qui suit, ils ont évidemment pour valeurs a*"' — A, E, et A - E.

25. Établissement des diverses formules de la trigonométrie sphérique. G. Relations entre les éléments des triangles ABC et abc ; ABC et ab'e.

Nous désignerons comme à l'ordinaire par a, b, c les côtés du triangle

/\ /\ /\ sphérique ABC; et, quand nous aurons a les employer, par «, b, c,

, b', c les angles des triangles rectilignes n'^r , ab'c dont nous avons jonné les valeurs en fonction de A, B, C, E. Cela posé, si l'on prend le rayon R de la sphère pour unité de longueur, l'inspection de la figure de la page 32 nous donne immédiatement :

(d) — tang - 1 ac = tans - ;

r//^ = cotang-1 <7f = cotant-;

et , par suite,

bb = -. — j ce = —. — j :

smr sint»

ce désignant la corde que ca prolongée détermine dans la circonférence bcb'. Enfin la formule (A') du n" 15 (page 22), dans laquelle nous devrons remplacer la puissance P par 'iR'^ ou 2, nous donnera

. a sm-

/;r=BCr^ ^ ^

A' H AT b c

t\ i> . .^ \^ cos-cos-

b'c = WC

AU' X'i" b . i

AD. AU cos-sin-

Il est sans doute inutile d'ajouter que ces formules ne doivent pas èiro retenues, et qu'il suffit d'apprendre à les lire rapidement sur la figure.

1 . cos a = cos b cos c -+- sin b sin c cos A. On a, dans le triangle rectiligne abc,

h) bc =^ ab ->r (u- — ■iab.(u- vo> \:

PHEMIÈRE PARTIE. 35

Remplaçant chaque ligne par sa valeur, réduisant au même dénominateur et supprimant le dénominateur commun , il vient

. ,« . J) , r . ,r J> sin6 sinr . sm-- = sm"- cos' — h sur - cos cos A.

Multipliant par 2 , changeant les signes , ajoutant i aux deux membres et

remplaçant cos^ - ? cos' - : par i — sin'^ -1 \ — sin' - -, il vient 22 2 2

cos ou enfin

n= (1 — 2 sin' - ) ( I — 2 sin' - j + sin è sin c cos A , cosrt = cosé cosc + sin^ çinr cos/n (I)

Remarque. — La construction sur laquelle repose la démonstration précédente, ne comporte d'autres restrictions que celles qui sont nécessaires pour la construction des points b, c Or ces points pourront toujours être construits comme nous l'avons supposé dans la figure , quand les angles AA'B , AA'C seront moindres cfue i droit, c'est-à-dire quand les arcs t, /;, qui mesurent les doubles de ces angles , seront moindres que 1 80 degrés ; ce qui a toujours lieu dans les triangles sphériques que l'on considère.

sin B sin h

sin C sin c Désignons par r le rayon du cercle bcb\ qui est coupé en un second point c' par la droite ac prolongée. On sait que, dans un cercle, une corde quelconque est égale au diamètre multiplié par le sinus de l'angle formé par la corde avec la tangente menée par l'une de ses extrémités. Appliquant eette remarque à chacune des cordes bb\ ce', on a

bb' __ ec' ., , sin B W/

"~ sin B ~ sin C ' sin C ~ rr"

et, en remplaçant bb' et ce' par leurs valeurs,

sin B sin b ,

sin C ~~ sin c-