PREMIÈRE PARTIE. 3c
ol si l'on remplace enfin dans le numérateur ,4C0s'- cl acos-- par I -+-cos^ et I + cosr, il viendra définitivement
„ I + cos n + cos Ij + ces c ...^^,
cos E = Via )
4 COS- cos- cos-
8. E rpression de ht tangente du quart de V excès spher'uiuc. Si, dans le triangle ah' c , on désigne par a, ^, 7 les côtés opposés aux angles /? , h\c , et par 2 1^ le périmètre a + [3 + y, on a
/r.^ . ^ * E I\TS^<X) (u-7)
(\\ tang— = tang-= 4 / '— — r-^^^— ^n-^
^ ' ^ 1 ^ 'î. \j cî(ct — p)
et si l'on calcule les valeurs de cr, ra — a, etc., on trouve
i/tang^-tang^-
tang - = i / tang - • tang^ tang^ tang ( IX-l
9. Résolution des triangles sphériques dont les côtés sont très-petits par rapport au rayon de la sphère. Théorème analogue à celui de Le gendre
Nous désignerons, dans ce qui suit, para, /-», c et R les nombres qi mesurent, au moyen d'une même unité de longueur, les côtés du triangle
sphérique et le rayon de la sphère. Les rapports s ' ï> ^ b seront des
nombres très-petits , que nous appellerons des infiniment petits du premier ordre. Nous appellerons de même infiniment petits du second, troi-
a"" b" c' ' sième et quatrième ordre, des nombres tels que g-j' ^^ ^1 *^t '^<^"s
désignerons ces infiniment petits des divers ordres par s , s^ e^ s*.
Cela posé, considérons comme précédemment {7wir la figure de la page Sa) le triangle sphérique ABC , le triangle rectiligne ahc et un second triangle rectiligne AB,C| , semblable à ahc, de dimensions doubles et que l'on peut construire géométriquement en projetant les sommets A, B, C du triangle sphérique, suivant le centre de projection A' et sur le plan tangent en A. Les angles du triangle rectiligne AB, C, auront pour valeurs exactes A , B, = B — E , C, = C — E; et si l'on désigne ses côtés par a^ , /;, , r, , on aura, en rétablissant le rayon de la sphère dans les formules (A) et (B) de la page 34 , qui donnent ah , ac , hc ,
2R Sm— ;r ,
a. = 2 Oc — —, = ; = a -:-,
cos — rr- • cos — =r 2 R 2 R
Rsin-— 2R
2 Iv
4o DES MÉTHODES EN GEOMETRIE.
Ainsi , los côtés du triangle rcctiligne AB, C, ne clifl'èrcnt des cotés correspondants du triangle sphérique proposé, que par des infiniment petits du second ordre. Il en résulte immédiatement la proposition suivante :
Théorème. — Si les cotés a^ b, r (F un triimglc sjjhériqiœ sont trèspetits par rapport au rayon de la splirrr, on peut substituer à sa résolution celle (l'un triangle rectiligne auxiliaire , ayant pour l'un de ses côtés a, et pour angles A, B — E, C — E (2E désignant l'excès sphéricpie) ; et les deux autres côtés de ce triangle ne différeront des côtés correspondants du triangle sphériqiœ (pie par des infiniment petits du second ordre.
On voit en effet que le triangle auxiliaire dont il s'agit étant semblable au triangle AB, C, , et ayant pour l'un de ses côtés a , qui ne diffère de «, que par un infiniment petit du second ordre, les différences entre les autres côtés homologues des deux triangles rectilignes seront du même ordre; et qu'il en sera de même, par conséquent, des différences entre les derniers côtés du triangle auxiliaire et du triangle sphérique.
Remarque. — Le théorème précédent peut, ce nous semble, être employé aux mêmes usages que le théorème analogue de Legendre. Toutefois, l'emploi de ce théorème exige , comme on le sait pour celui de Legendre , que le triangle auxiliaire que l'on substitue au triangle sphérique ait même surface que ce dernier. Or, il est facile de démontrer que la différence entre les surfaces du triangle sphéri(pie et du triangle auxiliaire défini précédemment , est un infiniment petit du second ordre.
Il suffira, en effet, pour le démontrer de faire voir que la différence entre les surfaces S , S, des riangles ABC , AB, C, est du même ordre.
On a ,*en effet ,
(il S = R'.2E
et
Or la formule (VII), page 38, devient, en y rétablissant le rayon de la sphère , et en développant les sinus et cosinus ,
b.c., bc smX .
sm — vr sm — ir- sm A — y^-z s* . . .
sm E = —
> étant un nembrc.
On en déduit, par ladivi^^ion,
. bc sin A sin E :=^
D'après celte formule sinE et par suite E sont du second ordre; la différence entre E et sinE rst donc du sixième ordre, et l'on peut
