PREMIÈRE PARTIE
, bc sinA
De là, en multipliant par R', et ayant égard à (i), il vient g^^^rsinA^^.
» ,„ , />r.sinA ,.„, , /;, e, sinA „ et SI 1 on observe que ne diffère de -^— ^^ ~ S, , que par un
infiniment petit du second ordre, il vient enfin
Scolic. — On peut, d'après ce qui précède, substituer au triangle sphérique proposé l'un quelconque des triangles rectilignes suivants :
(A, 1°. Le triangle T, , ayant pour l'un de ses côtés a et pour angles / B — E,
( A-E, 2°. Le triangle T.^ , ayant pour l'un de ses côtés a et pour angles < B,
1 A-E, 3". Le triangle Tg , ayant pour l'un de ses côtés a et pour angles l B — E,
Prenant les données moyennes entre les trois systèmes de données qui précèdent , on retrouve le triangle de Legendre ,
5 , ayant pour un de ses cotes a et pour angles \ B r- 1
26. Etablissement de quelques formules relatives aux quadrihitères sphériques.
I. Dans tout quadrilatère sphèrique inscrit à un petit cercle, le produit des sinus des moitiés des diagonales est égcd à la somme des produits des sinus des moitiés des côtés opposés.
Projetons en effet le quadrilatère inscrit ABCD, en prenant pour centre de projection le point A', diamétralement opposé au sommet A : nous obtiendrons un quadrilatère plan abcd qui sera inscriptible et fournira la relation
( I ) ac. bd = ab . cd -\- bc , nd ;
/ja »KS 3lÉTIini)ES E!V GÉQ.MÉTItlI..
or, si l'on désigne par a, b , t-, d les côtés AB , BC, CD, DA , par /;/, n les diagonales AC, BD, on établit facilement que la relation (i) se transforme dans la suivante :
(1) sm — sm- = sm-sm — |-sm-sm--
Remarque I. — La relation (I) a été découverte par M. Colleté, soldat de marine [Nouvelles Annales, i84g, page 44o)- La démonstration précédente a l'avantage d'établir la proposition réciproque en même temps que la proposition directe. Car, si la relation (I) a lieu pour un quadrilatère spliérique ABCD, la relation (i) aura lieu pour le quadrilatère plan abcd, qui en est la projection stéréographique. Donc , d'après la réciproque déjà établie du théorème de Ptolémée, le quadrilatère abcd sera inscriptible ; il en sera donc de môme du quadrilatère sphérique ABCD.
Remarque II. — On établirait de môme , quoique par un calcul plus long, cette seconde relation
. m . a . d . h . c sm— sm- sin- -|- sm- sm-
sm- sm- sm- + sm- sm-
que M. Colleté établit aussi à l'endroit déjà cité.
2. Expression du sinus du quart de Fexcès d'un quadrilatère sphérique quelconque.
Soit un quadrilatère sphérique ABCD; désignons par a, b, c, d, m, n ses côtés et ses diagonales AB , BC , CD , DA , AC , BD ; posons
et proposons-nous d'évaluer sin —
Formons, à cet effet, la projection stéréographique du quadrilatère ABCD, en prenant pour centre de projection le point A', diamétralement opposé au sommet A. Nous obtiendrons un quadrilatère abcd , dont les côtés ab , ad sont rectilignes et les côtés bc , cd circulaires ; et , si nous menons les tangentes bt , et à l'arc bc, les tangentes eu , du à l'arc rd, l'hexagone plan abtcud nous donnera
Or, si l'on appelle c' le second point d'intersection des arcs bc , cd . cl l'on mène les droites c7>, c'ac, r'd, on voit facilement que l'on a
t — 'ji"' — -x.bc c, a = 2"' — i.dc c.
