DES ANCIENS

27. Déjînituin de ht tangente d'après Euclide. — Remarquer sur l'insnj- Jisance de cette définition et sur le caractère essentiellement synthétique qu'elle présente. — D'après les anciens géomètres, la tangente en un point dune courbe est une droite passant par ce point , et telle , quune seconde droite issue du nwnie point ne puisse passer entre la première et la courbe. Ainsi, Euclide, dans ses Éléments, détermine la position de la tangente à la circonférence en démontrant que toute droite perpendiculaire à l'extrémité du rayon tombe hors du cercle , et que fon ne peut mener aucune droite dans [espace compris entre cette perpendiculaire et la circonférence.

De cette définition il est facile de déduire la conséquence que : si d'un côté et de l'autre du point de contact la concavité de la courbe est tournée vers une même région , la tangente laissera d'un même côté tous les points de la courbe (ou au moins tous les points d'un arc fini de la courbe, entre les extrémités duquel se trouvera le point de contact). Ce fait général , rapproché de la propriété particulière de la tangente à la circonférence et aux autres sections coniques, a conduit à une seconde définition fréquemment employée par les géomètres modernes, imitateurs de la forme synthétique des anciens, et d'après laquelle la tangente est une droite ri ayant quun point commun avec la courbe et laissant d'un même côté tous les points de celle-ci.

Or si, revenant à la première définition, l'on essaye de l'appliquer à la résolution géométrique du problème des tangentes , on est immédiatement frappé du peu de ressources qu'elle présente en général , et l'on cesse de s'étonner que ce problème ait été à peine ébauché par les anciens. 11 est d'ailleurs facile de se rendre compte, d'une manière générale, de l'insuffisance géométrique de cette définition.

Le créateur de la théorie des caustiques, Walter de Tschirnhauson , qui occupait un rang distingué parmi les savants de son temps les plus versés dans la philosophie des mathématiques, énumère longuement les diverses ijualités que doit présenter toute définition, dans l'ouvrage ayant pour titre : Mcdicina mentis , sive f entamer/ gcnuiiue logicœ. 11 y pose , entre autres,

rc précepte que toute définilion doit renfermer le^modc de formation, la ^cnération de 1 o])jet auquel elle se rapporte : Secundo patct onutcni ni siriguUiris dcfinitUmcm semper cjusdcm rci primuni forniatioitis viodum dcbcre i/icliidcrc , qucm (diciijiis rci gciicratioiicni niuicupaho (page 5o). Or, on chercherait en vain l'idée première de la génération de la tangente dans la définition que nous en avons donnée plus haut, d'après les anciens; cette définition est donc incomplète, au point de vue philosophique , et c'est précisément de là que provient son insuffisance en géométrie.

Elle présente d'ailleurs, à un haut degré, le caractère synthétique de la méthode exclusivement suivie par les anciens dans l'exposition de leurs découvertes géométriques. Car, tandis que la définition moderne de la tangente contient, implicitement, l'énoncé d'un problème dont la solution fournirait la construction de cette droite, celle des anciens indique seulement l'existence d'un théorème dont l'énoncé inconnu attribuerait une certaine position à la tangente cherchée , et dont la démonstration établirait que la tangente occupe en effet cette position.

Nous allons rapporter la solution donnée par Archimède du problème des tangentes aux hélices ou spirales. Cette solution offre un bel exemple de la méthode géométrique des anciens ; elle présente quelques longueurs , mais ces longueurs sont nécessaires et rachetées d'ailleurs par la rigueur de la démonstration qui se trouve dégagée de tout usage de la considération de l'infini.