De la tangente à la spirale d' Archimède

\. Lemme I. —Dans un triangle, la bissectrice cVun angle, terminée au côté opposé , est moindre c^ue la demi-somme des deux autres côtés. •1. Lemme II. — Soit dans une circonférence ayant pour centre le point o, ab une corde moindre ciuun diamètre , et soit oli perpendiculaire sur cette corde ; on pourra toujours mener un rayon orc tel, cpie la portion de ce rayon, comprise entre la circonférence et la corde ab pTolongée, soit à la corde ra dans un rapport donné , pourvu cpte ce rapport soit plus grand que celui de ah à oh. [Des hélices, prop. 7. ) DÉMONSTRATION. — Monons, en effet, le rayon indéfini okt parallèle à la corde ab et qui est coupé en k et en t par la corde ar prolongée et par la tangente en a.

Les triangles semblables arc et fn-o donnent l'égalité

ar Ar

et l'on voit que ce dernier rapport, dont le numérateur est constant, varie en sens inverse de son dénominateur ; et comme celui-ci va constamment en décroissant , depuis la valeur at jus(}u'à zéro, lorsque le rayon variable ott

46 DES MÉTHODES EN GÉOiMÉTUIE.

prend toutes les positons comprises entre on et okt ; on voit que le rap-

rc ^ 1 X . 1 1 X ■ , or oa ah

nort — peut prendre toutes les valeurs supérieures a — = — = —r- ' /Y/ ' ^ fit at oh

3. Lemme III. — Soient encore, dans une circonférence ayant pour centre le point o, ab une corde moindre (ju'un diamètre , oh la perpendiculaire abaissée du centre sur la corde , et at la tangente à Pune des extrémités de la corde : on peut toujours mener un rayon ocrt tel, que la portion cr de ce rayon , interceptée entre la corde et la circonférence , soit au segment at que ce rayon intercepte sur la tangente issue du point a, dans un rapport donné , pourvu que ce rapport soit moindre cpte celui de ah à oh.

Démonstration. — On doit avoir

ok étant la parallèle à la corde ab menée par le centre o et terminée au prolongement de la tangente ; ou , comme cr = oa — oc, on doit avoir

m (a) oc == oa at.

Prenons sur la tangente une longueur al telle , que l'on ait

--r iT,\ ^^ "' r ■ oa oa

7 ^■' f^^ (B) — = — , dou — , < -r' dou al^ ah.

<■/ / ■-.«■ ^ ' al n al ak

i^XTri^a ' En remplaçant oa par cette valeur dans (r/), on / V''/-^' V\/ devra avoir

V y ib) oc = — [al — at) = — It.

m , ah

m oa

n oh

n ak

Or, le triangle otk et la ligne ca parallèle à sa base donnent

oc = Ot. — r;

d'ailleurs

m oa

donc, en substituant dans [b), on aura à satisfaire à cette relation, oa , , ot oa

(0 ^'^^tj-Tl:^'-''^ «"

al.ak '■ ' tk.tl cd.ak

Or, si l'on construit le cercle déterminé par les trois points o, X-, /, et

que oa et ot prolongées coupent ce cercle en a' et t\ on aura ces deux

égalités,

on , ot ,

= aa\ — — — tt'.

al.ak ' tk.tl

SEOOXDE PAItTIE. ^7

Par suite, en subsliluanl dans la iclalion (r), on aura à déterminer le rayon ocrtt' par la condition ( <l) tt' = na.

Or, on pourra toujours mener par le centre o et dans la région supposée un rayon ott' tel, que le segment tt' soit égal à aa\ pourvu que ak soit moindre que al. Sous cette restriction, on voit très-bien que si le rayon mobile ocr^ coïncidant d'abord avec oa , s'éloigne de oa en se rapprochant de o/, le segment intercepté tt' est d'abord supérieur à aa\ et va constamment en augmentant jusqu'à ce que le rayon mobile passe par le centre du cercle ohl. A partir de cet instant, le segment «'allant toujours en diminuant et tendant vers zéro , il est clair que le rayon mobile atteindra une position intermédiaire pour laquelle le segment tt' sera pré-

cr m

cisément égal à an' ; c'est-à-dire pour laquelle le rapport — sera égal à — •

D'ailleurs la restriction al > ak entraîne celle-ci :

oa oa m ah

— T<-p ou — <-y al ak n on c. q. f. d.

4. Définitions. — On appelle hélice, ou spirale , la courbe engendrée par un mobile qui parcourt une droite avec une vitesse constante , pendant que celle-ci tourne d'un mouvement uniforme et dans un [)lan invariable, autour d'un point fixe o qui coïncide avec la position initiale du mobile. Le point o est l'origine de l'hélice ; la droite qui joint le point o à un point de la courbe est le rayon de ce point, et la position initiale oc/. de la droite mobile est le rayon-origine. — Si l'on mène le rayon on du point a de la courbe, et que du point o comme centre, avec oa comme rayon , on décrive une circonférence , nous entendrons toujours , dans ce qui suit, que l'arc de cette circonférence compris entre le rayon-origine oa. et le rayon ort, est celui qui serait décrit par l'extrémité a du premier rayon , tournant autour de l'origine dans le sens du mouvement qui a donné naissance à la courbe, et venant coïncider avec le rayon oa.

■ Enfin, un rayon quelconqpie oa sépare le plan de la courbe en deux régions , celle des conséquents qui renferme la portion de spirale déjà décrite par le mobile , et celle des antécédents. Nous ne considérerons d'ailleurs dans ce qui suit que la première spire de l'hélice , décrite pendant la première révolution de la droite mobile.

Cela pQsé , la définition de la courbe conduit immédiatement aux conséquences suivantes :

5. Les rayons qui aboutissent à deux points de l'hélice sont entre eux comme les arcs interceptés entre le rayon-origine et chacun de ces rayons, sur une circonférence ayant pour centre le point-origine. [Des hélices , prop. 14.)

C. Si Pon considèiT dans r hélice trois rayons séparés par des angles égaux, le rayon intermédiaire est égal à la demi-somme des rayons extrêmes. (Prop. 12. )

DES iMÉTIIODES EX GÉOMÉTRIE.

ConoLLAmE I. — Un arc quulcoïKpie de la courbe qui corresj^ond à un angle inférieur à -x droits, ayant son sommet à l'origine, est tout entier situé, par rapport à sa corde, du côté opposé à l'origine. '

Car, si l'on mène la bissectrice de l'angle aoh , coupant l'arc et sa corde en m et p. , on aura

r>(i + oh

et par suite, d'après le Lemme I,

om ]> nu..

En répétant la même construction pour les angles partiels anm., boni,..., on obtiendra de nouveaux points de la courbe , tous plus éloignés de l'origine que les points correspondants de la corde nb.

Corollaire II. — Le rayon qui aboutit en un point quelconque m de ^ l'hélice, est moindre que le rayon correspondant ot terminé à la tangente en un point a de cette courbe.

Car si l'on avait om ^nt, on verrait , en joignant la coi-de am , que l'on pourrait mener par le point n une infinité de droites comprises entre l'arc am et la tangente supposée at.

Corollaire III. — Toute tangente à t hélice ne rencontre celle-ci qu'en un point. (Prop. i3.)

7. Théorème I. — Le rayon oa rpii aboutit en un ]>oint a de la courbe, fait un angle obtus avec la portion de la tangente en ce point qui est dirigée du côté des antécédents. (Prop. 16.)

Démonstration. — Du point o comme centre, avec oa pour rayon, décri- >ons une circonférence. La portion de la courbe située du côté des antécédents tombera nécessairement hors de cette circonférence : il en sera donc de même (6, CoroU. II), à fortiori , de la portion at de la tangente à la courbe en «, dirigée vers les antécédents. Il résulte de là que l'angle considéré , oat , est droit ou obtus , et ne saurait être aigu.

Pour écarter la première hypothèse, supposons un moment que l'angle oat soit droit, at étant alors une tangente commune à l'hélice et à la circonférence oa. On établit facilement que par le centre o de la circonférence on peut mener une droite indéfinie ort telle, que le rapport au rayon on, du segment rt intercepté sur cette droite entre la circonférence et la tangente at , soit moindre que le rapport à l'arc y.a (compris entre le ravon-originc oa et le rayon oa), de l'arc ar intercepté entre le rayon oa et le rayon ort. (Prop. 5.)

On aurait donc pour ce rayon ort , qu(> nous supposons d'ailleurs dirigé

A'CrS les antrccdents ,

d'où

// arc (ir

or arcaa

of. ot arc a r or 0(1 arc a a

Mais, si l'on désigne par m le point de la courbe situé sur le rayon ort,

on aura ( 5 )

, , om arca/-

oa arcxrt

On aurait donc, en compaïaut (i) et ('i),

ot < om ,

ce qui montre , d'après le corollaire II du numéro précédent , que la droite at ne saurait être tangente à l'hélice. Donc l'angle oat ne saurait être droit ; donc il est nécessairement obtus. c. q. f. d.

8. Théorème II. — La tangentr en un point quelconque a de Phélicc intercepte sur In droite menée par Vorigine^ perpendiculairement cm rayon oa cpd aboutit au point de contact, un segment cPune longueur égale a Parc intercepté sur la circonférence décrite du point o comme centre , avec 0(1 comme rayon, par le rayon-origine oa. et le rayon oa. ( Prop. 20.) Démonstration. — En désignant par t le point d'intersection de la tangente en a et de la perpendiculaire au rayon (^a menée par le point o, il s'agit d'établir la relation

ot = zvccf.^a.