Première partie. — Supposons d'abord que l'on ait

( A ) ot > arc a (^ a ,

on pourra alors trouver une longueur n^i satisfaisant à la double inégalité

[a) arc y.fj a 'Co'^ <Cot.

Par suite, en abaissant 0/1 porpenfliculaire sur at , on aura

(di

ou encore

On pourra donc toujours , d'après le lemme II , mener dans la circonférence aScr un rayon orc tel , que Ion ait

rc oa

— = — 71 ou en- o')

5o DES MÉTHODES ES GÉOMÉTRIE.

OU. en njoulant limité aux deux membres, on pourra mener un rayon o/t (el , tjue l'on ait

on "" iivc Af'fi

Or, en désignant par r' le point de la courbe situé sur Uî rayon orc , on a ,

d'après le n" 5 ,

, , or' arcaS^-//-

' ofi ixrcy.pd

On aurait donc par comparaison

ce qui est incompatible a\ec l'hypothèse que la droite trir est tangente à l'hélice [voir le n" 3 , coroU. II); on ne saurait donc avoir o/>arca^r/.

Deuxième partie. — Supposons , en second lieu , que l'on ait (A') o^<arca^rt.

On pourra alors trouver une longueur oO satisfaisant à la double condition [a' ) ot <CnO <C arc aS f/.

Par suite, en menant encore ofi perpendiculaire sur at , on aura

on ,

7Ft ■

oa ah

Donc, si l'on mène la droite at\ tangente en a au cercle a&r/, on pourra

toujours, d'après le lemme III, mener un rayon ocrt' tel, que l'on ait la

relation

er oa

at' "~ oô

(•}• at'

ou — = -7, 1 oa o H

OU enfin

cr arc aioa arcz^w'

puisque /-//'> i\rcc//' et que o5 <arcaSY/.

Si l'on retranche de l'unité les deux mem- ^^vf' bres de l'inégalité précédente, on trouve

oc arc oLpr oa arc a& n

D'ailleurs, si l'on désigne par c' le point de la courbe située sur le rayon on-, on a , d'après la pro[)Osition 5 ,

arc ap'".

on aurait donc, par la comparaison des relations (i') et (a'),

(3') oc <ioc\

co (jiii est incompatible avec Tliypotlièse que la droite art est fani^ente à rtiélice. Donc on ne peut supposer oi <arcaji(';. Mais il est déjà démontré que l'on ne peut supposer o^>arcafic/; donc on a

o^ — arcc.[5rt. (.. Q. F. D.

29. De la tangente à la courbe décrite par un point dont on connaît la loi des distances à deux foyers.

Piioiu.iiJlE. — Construire la tangente de la courbe représentée en coordonnées bipohdres par Vécpiation

/•.). + /•'./' = L, dans laquelle \ , /' désignent des nombres positifs et L une longueur donnée. Construction. — Que l'on joigne le point décrivant a aux deux foyers/, /' et que du point a comme centre, avec un rayon quelconque, on décrive l'arc mm' terminé aux rayons vecteurs /<?, fa : si l'on mène la corde mm\ et si on la divise au point n en deux parties réciproquement proportionnelles aux nombres >. , /',

nin y

la droite an sera normale en a à la courbe considérée.

Démonstration. — Menons tat' perpendiculaire à an ; poup démontrer que cette ligne est tangente à la courbe, il suffira d'établir :

i". Que la droite at n'a cjue le point a commun avec la courbe;

2°. Que la droite at laisse d'un même côté tous les points de la «ourbe.

Première partie. — Soit b un point quelconque de la droite at; joignons bf bf et abaissons /y-* î V respectivement perpendiculaires sur/r^, fa' prolongées au besoin ; menons également /y/ry , m' q' perpendiculaires sui la droite an. Les triangles semblables bap , am(f\ ba]>\ .-//«V/' donnent les relations

ap mq aj>' nuf

ab a m ab lun' '

et delà, ,en divisant membre à membre et en observant que — - = i, et

itKi mil '}.' (lue — rS --' — r- ^ r ? n \ lent m q m n k

iqi ).'

ap' >.

( 1 ) '/ . ap — ).' . ap' — o.

D'ailleurs le point a appartenant à la courbe, on a (2) )..^/+V.«/'^L.

52 DES iMÉTIiODES ES «iÉOMETRIE. •

Il vient donc, en rotnmchanl (i) (1(? ( -2 ) membre à membre,

il en résulte immédiatement

et celte relation montre (ine le point Ane saurait appartenir à la courbe. Obscivdtion. — Il poiirriiil inrixcr, pour une position du pointa sufTisam-

ment éloignée de a dans la i)artie at^ que le point y-» fût situé sur le prolongement de fif. Dans ce cas, en retranchant ( 1 ) de [i) et observant que <ij) est plus grand que (ij\ il vient

y.f ]''-')■. fp^' h,

qui entraîne encore la relation (4)- Deuxième partie. — Soit h im point situé d'une manière quelconque au delà de la droite t(it\ par rapport aux foyers/,/' : joignons fh^f'k (|ui cou[»ent tel' en //, //; et joignons///',/'//.

i''. Supposons A > >■'. On a , dans le triangle ////',

d où , à fortioii ^

l.M-hi'Jf^j.'./if:

et de là. en ajoutant )./// aux deux membres,

Et comme , le point // étant situé sur la droite ////', on a

le signe inférieur ayant lieu dans le cas unique où le point // coïnciderait avec le point a , il vient, dans tous les cas,

ce qui montre que le point /■ ne saurait appartenir à la courbe.

2°. On traiterait d'une manière syniétriqur le cas où l'on aurait )/> )..

RciiHiiquc. — La construction et la dénaonstration ([ui précèdent ont été données par Fatio de Duillier [Bibliothèque universelle et historique , tome V, 1687, page 25). On voit que la tangente y est considérée comme une droite n'ayant qu'un point commun avec la courbe . et laissant d'un même côté tous les points de celle-ci.

SE4:OM)E PAKTIE.