II. — MÉTHODE DE ROBEIIVAL

30. Conception générale de Robcival sut- Iti description des courbes jxir /e mouvement d'un point ; sa solution du problème des tangentes par In compositiofi des différentes vitesses qui aninwnt le point décrivant. — Dans son Traité des mouvements composés (*), Roberval énonce, ainsi (lu'il suit, le principe qui sert de base à sa méthode et la manière générale d'ai)pliquer ce principe à la solution du problème des tangentes :

Axiome ou principe d'invention.

La direction du nioiivcinc/it (Cun point qui décrit une ligne courbe , est la touchante de la ligne courbe en cluuiue position de ce point.

Règle générale pour l'application de ce principe.

Par les propriétés spécifiques de la ligne courbe ( qui vous seront données)^ examinez les divers mouvements <pC a le point cpd la décrit à l'endroit où vous voulez mener lu touchante : de tous ces mouvements coitijmsés en un seul, liiez la ligne de direction du mouvenwnt composé , vous aurez la touchante de la ligne courbe.

31. Application tnix cycloïdes et aux roulettes. — Soit M un point de la courbe engendrée par le mouvement d'un point invariablement lié à un cercle a' amni' qui roule sur une l)ase (pielcon(iue xy^ droite ou courbe, ('onsidérons le mou\ement de la circonféience mobile par lequel l'arc infiniment petit aa' de cette circoniérence s'enroule sur la base xr. Ce mou- \<>ment aura pour effet : i" de communiquer à chaque point M invariablement lié au cercle un mouvement de translation parallèle à l'élément actuel aa' de la base , et dont la vitesse MV sera proportionnelle à l'arc aa'\ i" d"imi)rimer au même point M un mouvement de rotation autour du centre o^ par lequel il tournerait autour du point o d'un angle Mo<'' = mom' = aoa\ la vitesse de ce second mouvement étant proportionnelle à l'arc inhniment petit Mv' et dirigée suivant une

droite perpendiculaire à o M; soit M V cette seconde vitesse com])osante. Si donc sur les deux lignes MV, MV on construit un parallélogramme , la diagonale MU de ce parallélogramme sera la tangente cherchée. Or joignons aM. On a, dans le triangle MVU,

MV MV arc aa' arc mm' om on VU ~ MV ' ~ ar^Ti^ ~ arcMV ~ ÔM~ oM

(*) Divers oin'i-a^es de Malhémaliifues el de Physifjiip , par MM. de l'.lcailéniic. des Sciences , page 8o. Le Traité des Muuveiiu'itis co'vpust's fut rédigé par un gentilhomme l)ordelais, d'après les leçons qu'il avait reçues de Roberval sur cette matière. Celui-ci revit d'ailleurs ce traite avant que de le lire devant l'Académie des Sciences, et écrivit en marge quelques observations critiques, qui ont été conservées dans l'ouvrage dont nous extrayons ces détails, el qui portent d'ailleurs sur la lormc el non sur le l'ond même des démonslraLions.

5 \ DKS .>lÉTilOI>I<:S EX <;É(»iÉTRIE.

Les deux triangles ;\IVU et aoM gont donc semblables, comme ayant un

angle égal ( V = o) , compris entre des côtés proportionnels. Donc , puisque les premiers côtés MV , VU du premier triangle sont respectivement perpendiculaires aux côtés rto, oM du deuxième côté, le troisième côté MU du premier est pareillement perpendiculaire au troisième côté «M du deuxième. Donc la tangente en un point (juclco/Kpie d'une roulette est perpendiculaire à la droite qui joint le point décrivant au point de contact correspondant de la ligne mobile sur la ligne fixe.

32. Insuffisance de la méthode précédente. — Applications vicieuses (pu en ont été fentes y quoicpie sans erreur définitive , à des exemples auxquels elle doit rester étrangère. — Quelque élégant que soit le principe précédent, on reconnaît cependant que les applications de la méthode qui en résulte se bornent à quelques cas spéciaux tels que celui que nous venons d'examiner; la détermination des différentes vitesses animant le mobile qui est supposé décrire la courbe , offrant en général de grandes difficultés. Notre sujet présente même cette particularité curieuse, que sur les quatorze exemples auxquels Roberval applique sa méthode, les seuls exemples de la roulette et des lignes spirales (spirale d'Archimède, conchoïde) sont bien choisis : ils sont du moins les seuls dans lesquels on puisse apercevoir d'une manière bien claire que Roberval a exactement appliqué le principe dont il était pourtant l'inventeur. Dans tous les autres cas, il parait confondre les vitesses composantes du mobile, suivant deux directions, avec les projections de la vitesse totale sur ces directions; et ce n'est que [tar une sorte d'accident géométrique, si nettement mis en lumière par M. Duhamel dans son Cours de Géométrie infinitésimale à la Sorbonuc, que celte confusion n'entraîne aucune inexactitude dans la construction définitive des tangentes aux courbes qu'il considère. Il arrive, en effet, pour toutes ces courbes, que les vitesses composantes du point décrivant sont égales, et, dans ce cas, la direction du mouvement résultant n'est pas changée par la substitution erronée des projections de la vitesse totale aux vitesses comjiosantes elles-mêmes.

Rapportons, afin de légitimer ces assertions, la construction de la tangente à rii}'i»erlu>le donnée par Roberval à la page 82 de l'ouvrage indiqué : A ^/ B étant les foyers de la courbe et f le point qui décrit V hyperbole, en cpielcpie lieu rpie se prenne le point f, il a deux mouvements : l'un par lequel il s'éloigne de A le long de la ligne AL , l'autre par lequel il s'éloigne de B le long de la ligne BD. Puis donc qu'il s'éloigne également de A et de B et que 1rs deux directions sont f h, /D, ayant fait un rlionibe duquel l'angle soit DfL , c'est à savoir ayant divisé l'angle DfL en deux parties égales...^ la bissectrice de Vanglc D/L sera la tangente cherchée.

Mais, comment Roberval aperçoit-il l'égalité des vitesses composantes suivant A./, B./ ? Très-probablement en confondant les chemins élémen-

taires qui corrospondenl à ces vitesses composantes, avec les projections fp, fq^ sur leurs directions , du chemin élônuintaire /'/ ' décrit dans lo mouvement réel. Car si l'on voulait démontrer rigoureusement l'égalité des vitesses composantes fp', y*/', il faudrait, en s'appuyant sur la propriété fp = fq , qui résulte do la définition de la courbe , établir d'abord que la di- rection-1 imite de l'élément de chemin //"', ])arcouru par le point décrivant, divise l'angle A/B en deux parties égales; ce qui rendrait ensuite inutile la composition des vitesses. La direction de la tangente aurait donc servi à déterminer le rapportdes vitesses composantes, tandis que le contraire aurait dû avoir lieu.

§ III. — Des tangentes aux couubes DÉcurrES v\n les oiFFÉnENTS points d'une figure plane donnée qui SE meut dans son plan.

33. Définition gcnérnle des roulettes. — Métliode de Descartes pour lit description des tangentes à ces courbes. — Expression de Félénient rectiligue ou supcj-ficicl de In courbe cfui résulte de Pemjiloi de cette tuct/iode. — La méthode dont nous allons nous occuper a été imaginée par Descartes à l'occasion du problème des tangentes à la cycloïde.

Supposons qu'une courbe plane (C), entraînant dans son mouvement un point w qui lui est lié d'une manière invariable, roule sur une courbe fixe (C) située dans le môme plan ; dans ce mouvement le point in engendre une ligne appelée roulette; et la ligne fixe (C) est a|)pelée la base de la roulette : cela posé, il s'agit de construire la tangente en un i)oint (|uelconque de la roulette.

A cet efl'et, substituons avec Descartes, aux deux courbes (C) et (C) deux polygones (P) et (P') équilaléraux et d'un nombre très-considérable (le côtés; la longueur commune des côtés étant la même pour les deux polygones et d'ailleurs infiniment petite. Soient abc. . .M/, a'b'c'. . Ji'A'l' ( (>s deux i)olygones que nous supposerons actuellement en contact suivant les côtés al, a' l' , et soit en outre m la position correspondante du point décrivant, invariablement lié au polygone a'b'c' . . Ji'A'l'. Le mouvement du polygone mobile (P'), qui a amené le côté l'a' en contact avec la, continuant , aura pour effet d'amener le côté suivant a'b' en contact avec son égal ab , en faisaiU tourner la figure (P') tout entière autour du point n

(ou a') d'un angle égal à bab'. Le mouvement élémentaire de la figure (P'), dans son passage de la position actuelle à la position suivante, n'est dont qu'un mouvement de rotation de toute cette figure autour du point a , extrémité commune des éléments la, l'a' actuellement en contact. Le |ioint nt participe en particulier à ce mouvement et décrit le petit arc de • ercle mm' ayant pour centre le point a. La tangente à la courbe décrite pale point /Il esl (hm- j>crpendiculaire à la droite qui le réunit au point a.

La même construction ayant lieu quelque petits que soient les côtés des deux polygones que nous avons substitués aux lignes (C) et (C), aura lieu aussi à la limite , c'est-à-dire quand on considérera le roulement de la courbe (C) elle-même sur la courbe (C). Donc la normale m un point quelconque d'une roulette aboutit , à cluuiuc instant , au point de contact correspondant de la ligne mobile sur la ligne fjcc.

Scolie 1. — Les méthodes modernes pour la description des tangentes se séparent surtout en ceci de la méthode des géomètres anciens : que les premières conduisent toujours à l'expression , plus ou moins simple et plus ou moins utile d'ailleurs, de l'arc élémentaire de la courbe dont on sait construire la tangente; tandis que la marche même suivie par les anciens les écartait nécessairement d'un pareil résultat qui, tout secondaire qu'il soit dans le problème actuel, a cependant en lui-même une grande importance.

Or la méthode précédente est précisément l'une de celles qui conduisent à l'expression la plus utile de l'arc élémentaire de la courbe.

Désignons, en effet, par z et l' les angles de contingence en a et «'des deux polygones (P) et [P') qui ont été substitués aux courbes (C) et (C).

s = bat, t' = b'd t [at OM a' t étant le prolongement commun de la et

de l'a'). L'angle de rotation ùab' e&l égal à la valeur absolue de l'expression £ ± e', le signe + ou le signe — ayant lieu suivant que la ligne mobile roule sur la convexité ou sur la concavité de la courbe fixe; et

comme l'angle m a m' est égal à bab', on a d'abord, en désignant par ;-la distance nm ,

arc /«///= ± r[i ± î'),

d'où, en divisant par ab = a'b'.

ab \ab a' b'

Et de là, en passant aux limites et observant que -j et — ,- ont pour limites - et -, (p et p' désignant les rayons de courbure en a de la courbe

mobile et de la courbe fixe), on a, en appelant ds et r/a les différentielles correspondantes des arcs de la courbe mobile et de la roulette,

Scolie II. — La même méthode fournit encore l'expression de 1 aire élémentaire de la roulette, cette aire étant l'espace compris entre l'arc mm' de la roulette, l'arc correspondant ab de la courbe fixe et les droites am , bm' .

Car cette aire se compose : i" du secteur circulaire amm' qui a pour

expression ± - r''{z ± a'); %" du secteur m'ab^ qui n'est autre chose que

lo secteur ma' h' transporté dans une position infiniment voisine. Donc, en désignant par dh , d\ , ds les différentielles correspondantes de l'aire de la roulette, du secteur ayant pour sommet le point décrivant et pour base l'arc enroulé de la courbe mobile, et de l'arc enroulé de la courbe fixe , on aura

( II ) dK = d\ ±.- r'-(-± iA ds ,

le signe ± qui est devant le dernier terme du second membre ayant pour objet de rendre ce terme additif dans tous les cas.

34. Théorie des centres instantanés de rotation. — Le mouvement d'une figure plane, de forme et de grandeur invariables, qui se déplace dans son plan , et plus généralement le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, ont été étudiés par plusieurs géomètres, et notamment par Euler et par MM. Poinsot et Chasles. Leurs travaux ont produit ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie des centres et axes instantanés de rotation , dont nous allons exposer les principes.

Théorème L — Le mouvement élémentaire d'une figure plane de forme et de grandeur invariables, qui se déplace dans son plan, est toujours un mouvement infiniiiwnt petit de rotation autour (Pun certain point fixe du plan.

Le mouvement élémentaire de la figure est à chaque instant le mouvement infiniment petit par lequel cette figure passe de sa position actuelle à la position infiniment voisine qu'elle occupera dans l'instant suivant.

Démonstration. — Soient / et /' les positions occupées par la figure mobile F à deux époques quelconrpies de son mouvement, /;/«, m'n' les deux positions occupées , dans / et /', par une même droite MN de la figure F ; et rt le point d'intersection des droites w«, m' n'.

\°. Considérons le point a comme un point de la figure mobile F dans sa première position /. Quand F passe de /en/', la droite MN passe ellemême de mn en m' n\ et le point a de mn vient quelque part en rz, sur m' n' .

2°, Si, au contraire, nous considérons le point <? comme un point de la figure mobile F dans sa position /', nous verrons que F revenant de/' en/ la droite MN revient elle-même de m' n' en mn, et que le point a de m' n' revient quelque part en <7^ sur mn.

On voit donc , d'après la définition des points a^ et a^ , que dans le passage de la figure mobile de la position /à la position/', les points /^/^ et a de mn viennent respectivement coïncider avec les points a et «, de m'n'; et comme dans ce mouvement la figure reste invariable de forme

et de grandeur , on a l'égalité

a^ a = (iit^ .

Donc, si Ion mène par les milieux de lï^a , «iv, des perpendiculaires respecti\es à ces droites, lesquelles se coupent en o, le point u sera le centre d'un cercle passant par r/„, a et a^, et l'angle a^oa sera égal à l'angle ana^. Il résulte de là que l'on peut amener la droite A„A de la ligne F de la position a^a à celle de ««, , et par suite la figure F ellemême de la position /à la position/', par une rotation de toute la figure/autour du centre o; l'angle décrit dans cette rotation étant a^oa. Donc

Si Von considrre un déplacement fini (iiiclcumjuf: (fiinc figure dans Sun plan , on peut toujours amener cette figure de la première position à la dernière, en faisant tourner cette figure , prise dans la première position, (P un angle déterminé autour d\in point convcnalilement choisi dans son plan.

Dans cette substitution on n'a d'ailleurs égard qu'aux positions extrêmes et nullement aux positions intermédiaires de la figure mobile , qui ne sont pas reproduites , en général, dans le mouvement de rotation dont nous parlons. Le théorème précédent ayant lieu pour un mouvement fini quelconque de la figure F, aura encore lieu pour le mouvement élémentaire qui amène cette figure de la position / à la position suivante f ; mais alors toute restriction au sujet des positions de la figure mobile, intermédiaires à /et à /', disparaît, et l'on trouve le théorème énoncé.

Définition. — Le centre autour duquel s'effectue la rotation infiniment petite qui constitue, d'après ce qui précède, le mouvement élémentaire do la figure, reçoit le nom de centre instantané de rotation.

Tjiéorème il — Une figure F étant animé» dans son plan cVun mouvement continu quelconque , ce mouvement pourra toujours être produit parle roulement sur une ligne fixe [o) ^ d'une ligne (w), invariablenwnt liée à la figure F, et Pentraintait dans son mouvement.

Démonstration. —Décomiiosons^ en effet, le mouvement fini de la figure F dans ses mouvements élémentaires successifs qui sont, comme nous l'avons vu, des mouvements de rotation mesurés par des angles infiniment petits /•, /•', r",. . . , s'effectuant autour dos centres instantanés successifs o , o\ o", . . . Ces points se succèdent dune manière continue , si le mouvement de la figure est lui-même continu, ce que nous sujtposons essentiellement, et forment une ligne polygonale à côtés infiniment petits qui se transformera à la limite en une courbe [o).

Or, considérons cette ligne polygonale oo' <>"... , et désignons par c\ c", c'", . . . , ses angles de contingence en o', o'\ o"\ . . . Par le point o, autour duquel s'effectue la rotation initiale de la figure, menons une ligne polygonale ow'w"w"'. .., ou ww' w" w'". . . , dont les côtés successifs ojo)', w'w", w"w"', . . . , soient respectivement égaux aux côtés ort', o' o\ o"o"',. . ., et telle, en outre .

i" Que ww' ou OM fasse avec oo' un angle égal au premier angle de rotation r;

ï° Que les angles de contingence •/', 7", 7'", . . . , en w', w", w'", . . . , soient définis par les équations

Enfin regardons laligne ww'w". . ., ainsi définie, comme invariablement ■ liée à la figure F, nous allons constater facilement que le mouvement de la figure F produira le roulement de la ligne ww' w". . . sur la ligne 00' o"

En effet , dans ses déplacements successifs , 1°. La figure F tourne d'abord autour du point o d'un angle égal à r; cette rotation amène donc &>&>' sur son égale 00', le point w' venant en o'; l'angle que fait alors w'w" venue en w',w" avec o' o" est égal à la somme (•'-t-7' des angles de contingence en o', w', c'est-à-dire est égal à r' :

^jj. .7.7 ^ 1 • ,

1°. La figure F tourne ensuite autour du pomt n (ou w',) d'un angle égal à /•'; cette rotation amène donc &>',«" sur son égale o'o", le point w" venant en o", et l'angle que fait alors &i"w"', venue en w'j w'j , avec o" o'" est égal à la somme c" + 7" des angles de contingence en 0" et &i", c'est-à-dire égal à r" ;

3°. La figure F tournant ensuite autour de o" (ou w") d'un angle égal à r", cette rotation amènera encore le côté &)" oj'" sur son égal o" o"\ et ainsi de suite.

On voit donc que si l'on passe à la limite et que l'on désigne par (o) et ( w ) les courbes limites des polygones 00' o". . . , &jw' w", . . , /t- mouvcnient considéré de la figure F produit le roulement , sur la courbe ( o ) , de la ligne (w) invariablement liée à la figure F. Donc, réciproquement, le mouvement considéré de la figure F peut être produit par le roulement sur une ligne fixe (o), d'une ligne (w) invariablement liée à la figure F et Pentraùiant dans son mouvement. c. Q. F. D.

Remarque. — Le. mouvement de la figure F étant connu, on peut, comme nous le verrons , déterminer à chaque instant la position du centre instantané de rotation , et déterminer par suite , sur le plan immobile dans lc(piel se déphue la figure F, la courbe (o) , lieu des centres instantanés de rotation. Quant à la détermination de la ligne (w) par ra[)port à la figure F à laquelle elle est invariablement liée, voici, d'après M. Chasles , la manière dV parvenir : Regardant la figure F comme située dans un plan mobile, distinct du plan immobile de la ligne (o), et simplement superposé à celui-ci , on imaginera à chaque instant que le centre actuel de rotation [considéré comme appartenant spécialement au plan immobile de la ligne (o)] imprime sa trace sur le plan de la ligure mobile; le lieu de ces traces sera la courbe rhorchée [m 1.

6o DES .MÉTHODES EN tiKOi>lÉTKIE.

Scolie. — Les théorèmes précédents cl leui's démonstrations s'appli- (jucnt , sans aucune modilication , au mouvement d'une figure sphérique quelconque qui se déplacerait sans sortir de la sphère où elle est tracée : les nouveaux théorèmes qui en résultent servant de base, comme on sait, à l'étude du mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe.

35. Usages de In théorie précédente dans le problème des tangentes. — Examen des trois cas qui peuvent se présenter. — AjipHcations. — La théorie des tangentes et celles des courbes enveloppes, se prêtant ici un mutuel appui, nous indiquerons simultanément, et par anticipation sur le chapitre suivant, les applications de la théorie précédente aux deux problèmes des tangentes et des courbes enveloppes.

Qu'une figure F, de forme et de grandeur invariables , se meuve dans son plan et que l'on considère les courbes décrites dans ce mouvement par plusieurs points M, M', M", . . . , de cette figure. Soient w, ///', «/", . . . , les positions correspondantes ùt% points décrivants, à une époque quelconque du mouvement. Le mouvement élémentaire suivant de la figure sera un mouvement infiniment petit de rotation autour d'un centre o, en vertu du(|uel les points ///, m\ m", ... , décriront de petits arcs de cercle ayant pour centre commun le point o ; donc ,

1°. Les normales aux cnur-bcs décj des jxir les dijférents points de la figure mobile, menées en des points correspondants c/^ ces courbes, vont toutes concourir en un même point o, cpd est le centre instantané de rotation correspondant à la position considérée de la figure mobile.

Dans ce môme mouvement , la droite qui joint deux points quelconques de la figure mobile, demeure dans son déplacement infiniment petit, à la même distance du centre... o ; elle demeure donc tangente à un cercle ayant poiu* centre le point «, et, par suite, le point où cette droite touche son enveloppe est le pied de la perpendiculaire abaissée du i)oint o sur cette droite; donc,

i". Les nornudes aux courbes cnveloj)pécs par les diverses droites de la figure mobile, menées en rfev yw//;^v correspondants de ces courbes, vont toutes concourir en un même point o, centre instantané de rotation.

CoROLLAinE. — U résulte de ces deux ]>ro])ositions tjue si, dans le mouvement tf une figure donnée , on connai't à chaque instant :

I . Soit le mouvement de deux points de cette figure, c'est-à-dire les normales aux lignes que décrivent ces points ;

1. Soit le mouvement d'un seul point de la figure et le point où une droite de cette figure touche son enveloppe ;

3. Soit enfin les points où deux droites de la figure touchent leurs enveloppes respectives ;

On pourra, pour chaque position de la figure mobile, déterminer le centre instantané de rotation qui sera fourni par l'intersection de deux droites connues; et ce point une fois déterminé, on sera en état de construire les tangentes aux lignes décrites par tous les autres points de la ligure mo-

SECONDE PARTIE. Dl

Itilo, ainsi que los points où les difftVentcs flroitos de cotte lignre toucliont leurs enveloppes respectives.

APPLICATION.S

i'. Considérons, eu premier lieu, le mouvement d'une droite AB, de longueur constante , dont les extrémités A et B glissent sur deux axes rectangulaires C.r, Cj; on voit, soit d'après la théorie précédente , soit par des considérations géométriques directes : i" que l'ellipse (itiih, décrite par un point quelconque /« de la droite AB, n'est autre chose qu'une épicycloïde raccourcie (ou allongée), engendrée par un point w invariablement lié à la circonférence oACB qui roule intérieurement sur la circonférence x-oj de rayon double; et ce résultat nous sera utile dans la suite ; i° que la ligne enveloppe de la droite mobile AB est une épicycloïde engendrée par le point t de la circonférence otc roulant intérieurement sur la circonférence xoy de rayon quadruple.

i'. Si l'on considère , en second lieu , la courbe décrite par l'extrémité B d'une droite AB , de longueur constante , qui tourne autour d'un point fixe ou qui demeure tangente à une courbe donnée , et dont la seconde extrémité décrit une ligne directrice donnée, on rentrera clans le second des cas énumérés plus haut; et l'on parviendra facilement à la construction connue de la tangente à la cnnclioïdc décrite par le point B.

3'. Si l'on considère enfin le mouvement d'un triangle donné ABC, dont deux côtés /; et c demeurent tangents à deux circonférences fixes de rayon S et 7, on établit facilemeat que le troisième côté a demeure tangent à une troisième circonférence déterminée, de rayon a; et que l'on a cette relation

S désignant la surface du triangle mobile. {Noih'cUcs Annales de Mnthénintùjuc.s , 1 853 , page 68. )

§ IV. — DÉFIiNITION UE LA TANGENTE D'APRÈS LES GÉOMÈTRES MODERNES. —

Applications.

30. Solutions (lu prohlciuc des tangentes (V après Desem-tes , Fermât et Bonmv. — Dernière définition de la tangente.

I . Dans sa seconde solution du problème des tangentes. Descartes imagine qu'une sécante tourne autour d'un point fixe pris sur le plan de la courbe, de manière que les deux extrémités de l'une des cordes qu'elle détermine dans la courbe se rapprochant de plus en plus l'une de l'autre, viennent enfin se confondre : à cet instant, la droite mobile est tangente à la courbe, et Descartes détermine son équation d'après cette condition

que l'équation

dont les racines représentent les abscisses des points communs à la courbe

G 9. DES MÉTIIODI^ K\ «ÉOMETRIE.

f{.r,Y)'-=o, ot à la tangente cherchée >= r/.r + /;, ait deux racines égales. Cette condition s'exprime par une relation entre n et h, et cette relation , jointe à telle condition de description qu'on voudra imposer à la tangente cherchée, permet de la déterminer complètement.

Il résulte immédiatement de cette règle analytique que la solution de Descartes nest actuellement applicable qu'aux courbes algébriques. Elle exige en effet que l'on puisse exprimer l'égalité de deux des racines de l'équation

/(.r, ax -\- b) = o,

ce qu'on ne sait faire encore que dans le cas où cette équation , et par suite l'équation de la courbe /(.r,r) = o, est algébrique. La solution de Descartes, comparée à la solution actuelle par l'emploi des dérivées, présente donc une infériorité notable. Elle a toutefois ses avantages propres dérivant du principe analytique qui lui sert de base; ils n'ont pas été signalés, que je sache , et consistent en ce que la détermination de la tangente à une première courbe peut conduire à la construction des tangentes de plusieurs autres courbes. Pour citer un exemple à l'appui de cette assertion , considérons les deux équations

( 2 ) a'n\f + { jr - a' m' ) .r' = a' [p' - a'm').

On sait, par la résolution préalable du problème des tangentes pour l'ellipse, que si x^y représentent des coordonnées rectilignes, la droite représentée par la première équation est tangente à l'ellipse que représente la seconde; car l'équation qui résulte de l'élimination de r entre les deux proposées, admet deux racines égales. Or, ce fait analytique étant indépendant de la signification géométrique attribuée aux variables x et j, subsistera encore si on les regarde , par exemple , comme représentant des coordonnées bipolaires. Dès lors , les nouvelles courbes représentées dans le nouveau système par les mêmes équations ( i ) et ( 2) , auront encore deux points communs réunis en un seul, et auront par suite même tangente en ce point. Par suite , si l'on sait construire la tangente de l'une de ces courbes , on saura par cela même construire la tangente de l'autre. Or, dans le système actuel, l'équation (2) représente un cercle. On saura donc construire la tangente de la courbe à deux foyers que représente l'équation (1). On parvient en effet, en suivant cette voie, et par un calcul assez simple, à la construction déjà donnée à la page 5i.

2. Fermât et Barrow employèrent, pour résoudre le problème des tangentes, un môme principe et des procédés analytiques à peu près ideiitiques. Ainsi, Fermât prend sur la tangente un point infiniment voisin du point de contact, et le regarde comme appartenant à la courbe. Cette supposition , qui détermine géométriquement la tangente , en assignant un second i)oint par lequel elle doit passer, lui permet d'arriver à l'expression de la sous-tangente par des procédés analytiques qui sont précisément ceux du calcul différentiel.

La manièro de Barrow, quoique revenant pour le fond à celle do Fermat, paraît plus lumineuse : il considère le triangle formé par une corde infiniment petite et par les parallèles aux axes des x et des y menés par les extrémitésde cette corde; et il rei^'arde ce triangle comme semblable à celui que la tangente et l'ordonnée déterminent sur l'axe des .r. Cette similitude lui fournit, pour le rapport de la sous-tangente à l'ordonnée, une c\i)ression dont il calcule la valeur par des procédés analogues à ceux de Fermât.

On voit que, pour ces deux géomètres, la tangente a deux points communs avec la courbe; ces points sont infiniment voisins l'un de l'autre, mais ils ne sont pas actuellement confondus en un seul , comme ils l'étaient dans la solution de Descartes.

3. Ces modifications successives de la définition de la tangente ont enfin conduit à la définition actuelle d'après laquelle /r//(7/?^^rt?<? m un point d' une courbe est la limite vers laquelle tend la direction d'une sécante que l'on fait tourner autour de ce point, de manière qu'un second point d'intersection de la sécante avec la courbe se rapproche indéfiniment du premier.

Combinée avec les principes du calcul différentiel , elle conduit immédiatement aux formules suivantes, les plus usitées :

dv dw

tangx = -^ -, tang x = /■ —- ,

sin / dr sin /' dr'

La dernière suppose la courbe rapportée à un système de coordonnées bipolaires r et r', et donne la relation qui existe entre les angles / et /' que la normale fait avec les rayons vecteurs r et /'.

Scolie. — La définition de la courbe fournit quelquefois , pour une sécante quelconque, une propriété géométrique simple qui conduit facilement alors k la propriété caractéristique de la tangente.

Prenons pour exemple l'ellipse de

-4^ 'Jl^ K^ f- Cassini; soient f, f ses deux foyers

\ // ,-''~.^ \i ^^' et »w une sécante ([uelconquc : joi-

^^-/^^ ^^''' gnons fm , f'm ; fn , f'n. On a , d'a-

près la définition de la courbe,

,. ^, ,. j., fm {' n

lui. 1 ni — in. i //, ou -jT- — -^, — ■ ■ ■ ■ .//' / "'

Si donc on construit les bissectrices des angles intérieur et extérieur en /et en/', à savoir /A et/r,/'^' et/'r', on aura

cm c' n en r' m d'où

( I ) cm = c' n.

Or celte propriété d'une sécante quelconque conduit très-simplement à

la construction de la tangente. Car si l'on suppose que le point n se rapproche indéfiniment du point w, les bissectrices intérieures//.', f b\ tendront à se confondre respectivement avec les rayons vecteurs //«,/*/« ; les bissectrices extérieures, qui sont perpendiculaires aux premières, tendront à coïncider avec les droites je , /' r' perpendiculaires aux rayons fm,f'iti\ et, par suite, l'égalité (i) prise à la limite exprime que la portion de la tangente en m, comprise entre les droites /<",/r', est divisée par le point de contact en deux parties égales. (Steiner , Journal de Crellc )

APPLICATIOX.S.

37. Cous t fil ire In tangente h la courbe décrite pai un point dont on connaît la loi des distances à plusieurs foyers .

Soient (i) F(r,,/-,,...) = o,

et

(2) «, dr^ +a^dr^+... = o ,

la relation donnée entre les distances du point mobile m à des points fixes ou foyers/, ,/,... situés dans le plan où il se déplace , et la relation qui en résulte entre les différentielles des coordonnées focales du point m. Soient mt et nm la tangente et la normale cherchée ; mm' la corde qui joint le point m à un point voisin pris sur la courbe ; /«N la perpendiculaire à cette corde. Si l'on désigne en général par i^ un infiniment petit du second ordre, et par Ar, , A/-j , . . . , les accroissements (positifs ou négatifs) des coordonnées focales r, , r, , . . . , dans le passage du point m au point voisin /// do la courbe,, on sait qu'il existe entre ces accroissements la relation

(3) rt-, Ar, + r/,Ar, -+-... 4- £'=0.

On trouve facilement d'ailleurs les expressions

A/-, = mm'. sinN/»/ + e' , A/- = /rtw'.sin Nw/ + £2 ,

qui fournissent, en grandeur et en signe, \es valeurs de A/-, , Ar^ , . . . , pourvu que l'on regarde les sinus rjui entr-ent dans ces e.rpressions comme positifs on négatifs, suivant que les angles correspondants tombent à gauche ou à lû-oite de la perpendiculaire ni}i. Substituant ces %aleurs dans la relation (3) et divisant tous les termes par mm', il vient ( 4 ) a^ sin N //// + f'^ sin N nif +...+; = o.

Or si Ion suppose maintenant que le point /;/' se rapproche indéfiniment du point m, la perpendiculaire /«N à la corde mm' se rapprochera indéfiniment de la normale cherchée mn . et en même temps s tendra

SKCOM)K PARTIE. G 5

vers zéro, on aura donc , en passant à la limite.

(5) c/| sin ni)ij\ -\- a., sin ninf.^ + ... = o.

Cette relation , dans laquelle r/, , a., ... sont des nombres connus, pouvant être positifs ou né.;i;atifs, conduit facilement à la construction de la normale. Car un terme quelconque du premier membre, ^/, sin nwj\ , par exemple, représente , en grandeur et en signe , le moment par rapport à la normale mn d'un poids égal à la valeur absolue de «, , situé à une distance égale à l'unité du point /«, sur le rayon ////, si //, est positif,' ou sur son prolongement/, m , si i(^ est négatif. La relation (5) exprime donc que la somme algébrique des moments, par rapport à la normale vin, de tous les poids r/, , <-/, ... situés comme nous venons de le dire, est égale à zéro; et par suite, que la normale ///// passe par le centre de gravité de ces poids. On a donc cette construction :

Joimb'c le point décrivant à chaque foyer tel ([ue f].\ sur ta droite résultante , si le nombre a,, est positif, ou sur sort pj-olonge nient s'il est négatif et à une même distance du point m , placer un poids égal à la valeur numérique de a,. ; chercher enfin le centre de gravité de ces poids et le yjindre au point m par une droite qui est la normale cherchée. [Analyse des infiniment petits du marquis de l'Hôpital, prop. lo.)

Observation. — Il est facile de voir que , dans' la construction précédente, les signes des différents termes de la relation (5) sont reproduits avec fidélité par les signes des moments, par rapport à la normale, des poids correspondants. Considérons, en effet, les termes a, sin nmf et «2 sin nmf.

i". Si les sinus sont de même signe, ainsi que les nombres a^ et r/,

les termes considérés auront le même signe dans

la relation (5). Or les sinus ayant le même signe,

les rayons ////, , mf sont , d'après une observation

t faite plus haut , situés du même côté do la normale

mn ; et , les nombres r/, , a^ ayant le même signe ,

les poids r/, , rtj sont, d'après la construction, si-

/ i„ tués tous deux sur les rayons mf , mf eux-mêmes

' (si r/, et a.^ sont positifs), ou tous deux sur leurs

j)rolongements/i///, /,/« (si a^ et a^ sont négatifs). Les poids c/, , a.^ sont

donc, dans tous les cas, situés du même côté de la normale w«, et leurs

moments sont de même signe, ainsi que les termes correspondants de la

relation (5).

2°. De même , si les sinus sont de signes contraires et les nombies <v, , a^

de même signe , les termes considérés seront de signes

contraires dans la relation (5). Or, les sinus étant de

signes contraires, les rayons /«/", mf sont situés de

part et d'autre de la normale mn; et les nombres

rt, , a., étant de même signe, les poids a^, a^ sont si-'

tués en même temps sur les rayons eux-mêmes, ou

sur leurs prolongements. Ces poids sont donc, dans

GG HES MÉTHODES EX (JÉO.MF.TKIE.

tous les cas, silut^s do part et d'autre de la noiinale nin ^ et leurs moments, par rapport à cette droite, sont de signes contraires, ainsi que les termes correspondants de la relation (5); etc., etc.

CoROixAiRE I. — La construction précédente est encore applicable au cas où le mouvement du point décrivant m est défini par la relation qui existe entre les distances de ce point à plusieurs courbes fixes C, , C,..., ces distances étant comptées sur les normales à ces courbes menées par le point m. On démontre aisément, en etfet, (jue la tangente en m au lieu considéré est la même que la tangente à la courbe auxiliaire (jne décrirait un second mobile partant du point m et se mouvant d'après cette condition , qu'entre les distances de ce point aux pieds actuels des normales abaissées du point m sur les courbes données, considérés comme des points fixes , il existe une relation identique è la i)rcmière relation donnée.

CouoM.MRE II. — La construction de la tangente d'un lieu géométrique déterminé, dont l'espèce est encore inconnue, permet quelquefois de découvrir la nature de ce lieu. Ce résultat est d'ailleurs un accident géométrique heureux, ne se produisant guère que dans le cas où la courbe inconnue est une circonférence. Sujjposons, par exemple, qu'il s'agisse de consliuirc la tangente h la courbe , lieu des points m , tels que la somme des carrés des tangentes menées de cliaciin d'eux à n circonférences situées dans le ménic plan , ait une valeur constante. Si l'on désigne (Hir /', , /■.,,••• 1 '■« l^s distances de l'un des points du lieu m , aux centres r,, <•.,,..., c^^ des circonférences données , on aura, entre ces distanci^s et leurs diflérentielles , les relations

''i + '"î -t- • • • + r\ -- (constante et

r^ . dr^ + /■„ . dr.^-^ ...-(- r^ . a'r^^ = o.

On devra donc , pour construire la normale, joindre le point m au centre ,„ de gravité des poids /•, , /*,,..., ^„ appliqués à la

~'"r^"~" "^ même distance du point m sur les droites /w, ,

x' i\ i- mc^, . . . , «/c„. Or, le moment, par rapport à une y' " "T V*\r droite quelconque issue du point m, du poids /\ '^,/ gi \ ' ' est égal au moment par rapport à la même droite

~~"- V d'un poids auxiliaire égal à l'unité et qui serait

'(' - placé en ^^ (on supj)Ose mr^ — mr., = . . , = i). Il

en résulte que le centre de gravité G des i)oids r, , r^,. . . ,r„ et le centre de gravité g des centres r, , c.,,. .., r„ considérés comme des points matériels égaux, sont situés sur une même droite passant par le point ///. Donc la normale à la courbe décrite par le point m passe à ch&que instant par le centre des moyennes distances des points Cj , c^ , . . . , ^ „ , centres des circonférences données. La courbe déoite par le point m est donc une circonférence, et le centre de cette circonférence se trouve en même temps déterminé.

liei/uin/ue. — Le problème général ([ue nous \enons de résoudre fut

SECONDE PARTIE. (]n

proposé par de Tscluniluuisen [Mcdicinœ nic/itu purs sccunda , p. 74) et généralisé par Fatio de Duillier, qui rectifia en même temps la solution erronée du premier {Biblhth. univ. et liist., t. V, 1687, P* *5)-

2. Soit un polygone funiculaire pUin ABCD. . . reliant des points matériels de masses respectives a, h, c, d,..., placés aux sommets successifs du polygone. Le dernier sommet du polygone se meut sous l'influence cTune certaine force et entraine dans son mouvement le poly<ronc tout entier. Cela posé , on demande, pour chacpte position du polygone mobile, les tangentes aux courbes décrites par ses différents sommets. Solution. — Soient ABCD..., abcd... deux positions infiniment voisines du polygone mobile, et A«, Bi^, Cr,... les chemins élémentaires décrits par ses différents sommets dans le passage de la première à la deuxième position ; le chemin Aa en particulier étant évidemment dirigé sui- \ant AB. Par chacun des sommets a, b,c,. ..^ menons les droites a{i>, by, cS^ . . . ^ égales et parallèles à AB, BC, CD, . . . , et égales par suite, à ab, bc, cd , ... ; et joignons />[3, f y, r/rî,..., qui iront rencontrer, sous des an- '■\ /' gles inHnim.f^nt peu différents dun angle

droit, les prolongements des côtés AB, BC, CD,.... Nous désignerons par B, C, D, E,... les angles du polygone ABCDE...;

par fl?, d' les angles aigus que forme le chemin élémentaire Dr/, avec les

côtés adjacents DC (pour d) et DE (pour ri"), et de même en chacun des autres sommets.

Tout cela posé, si nous désignons d'abord par /(<-/), /(/;), /(r), ... les forces (provenant, par l'intermédiaire des côtés du polygone, de la force qui sollicite le dernier sommet) qui font décrire aux masses «t, b, c, d,... les chemins élémentaires Ar/, BA, Ce,... dans le même tempsQ, nous aurons cette première série d'égalités

a.Aa

b.Bb

f{d) d.Dd'

(Car si l'on désignait par ^(„>,§(jj, . . . , les accélérations dues aux forces /(<?), f{b),. . ., on aurait d'abord

d'où l'on déduirait

— 7T5 etc.

a.ka 6-

Dés\v:,mn% en second lieu par F(A), F(B), F(C), F(D),... les forces agissant suivant AB, BC, CD, DE On voit immédiatement que F (A) =/(«) ;

que F ( B ) a pour composantes F (A), el /( ^ ) ; que F ( C ) a pour composantes F(B) ety'(r), et ainsi de suite; on aura donc, en employant la notation indiquée plus haut, les relations suiviintcs, qui ont lieu en chacun des sommets A, B, C, D,

En ^/o/.v/V^/»*? //>//, les triangles infinitésimaux Bt^, Cry, D^/o,..., dans lesquels les côtés hp,cy,do....^ font avec les lignes AB,BC,CD, . .. , des angles infiniment peu différents d'un angle droit, nous fournissent les relations suivantes :

i". Le triangle Bhp :

B|3 Afi sinB/^6 cosAB6 cos/>

yV'i;

B) '^■'' = sm//

sinB

"~ sin/' '

' sm c'

sinC

sinr '

0) '^% smrt

sinD

" sin d '

ou

Bh Bb~swhpB i i

2". Le triangle Ce/ :

Cy B^__ sinCr-/ cosBCc cosc

(> °" C7 ~ coslB/», BC) ~ côsiBC " cos/»'

et ainsi de suite ; et en réunissant toutes cos formules, on a

A r/ cos b

B /; cos r (. r cos//' C r cos d Df/~"cosc''

Le problème est actuellement résolu, car il ne reste plus qu'à combiner les relations (i), (2)et(3), pour obtenir les directions Bb, Ce, Dr/, — On trouve ainsi les formules cherchées :

sin //

cos/;

7 sin B ; b

sinr' cosr

b sin/»

c cos//

sinC sinB'

sin d' cosr/

r sinr r/cosr'

sinD 'sinC'

Rcinarque. — On trouve dans VJnalysc des injiniimnt j)<:tus du marquis do rnôpital (section 2, prop. 16), une solution de ce problème, moins générale que la })récédente.