CHAPITRE II

Des courbes enveloppes.

§ I. — Solution du problème oÉNXînAL.

38. E notice du problème génëiril. — Application de la méthode parles solides auxiliaires , à ta recherche de l'équation de la courbe enveloppe.

Problème général. — Soit donnée une famille de courbes, renfermant une infinité do lignes qui se succèdent d'une manière continue dans le mémo plan. Regardant l'une de ces lignes L comme fixe, considérons une ligne L' très-voisine de la première ; elle coupera en général celle-ci en des points qui tendront vers certains points-limites déterminés , à mesure que la ligne L' se rai)prochera de plus en plus de la ligne fixe L, en coïncidant successivement avec chacune des lignes intermédiaires. Cela posé , on propose : i" de trou\er les points-limites dont il s'agit , pour l'une quelconque des courbes considérées ; 2° de trouver le lieu géométricpie formé par les points-limites de toutes ces courbes , ou X enveloppe de ces courbes.

Solution. — Soit l'équation

(0 fv^-,y, <■■■) = o,

dans laquelle c représente un paramètre arbitraire qui , en variant d'une manière continue dans l'équation (i), donne naissance à une série de courbes se succédant d'une manière continue. Attribuons au paramètre c une signification géométrique ; regardons-le comme exprimant la troisième coordonnée z . d'un point de la surface représentée par l'équation

Les courbes considérées (i) seront alors les projections, sur le plan des.rj, des diverses sections de la surface (2), parallèles à ce plan.

Dès !ors, si deux de ces courbes , correspondant aux valeurs f et r + Ar du paramètre, se coupent en un point w^, la parallèle à l'axe des z menée par ce point coupera la surface en deux points M„ et M'„ situés dans les plans z = c et z = c 4- Ac; la distance de ces points étant très-petite , si t^c est lui-même très-petit.

Si donc on suppose (pie Ar (endo vers zéro, le point //?„ se rapprochera de plus en plus de lun des points m de la courbe enveloppe, et la parallèle à l'axe des 3, menée par le ])oint variable /.v^,, tendra de plus en plus à devenir tangente à la surface (2).

Il en résulte immédiatement que l'enveloppe cherchée n'est autre chose ({•ue la trace, sur le plan des xy\ du cylindre circonscrit à la surfac

7^ 1>KS MÉTHODES EN GÉOiMÉTRIE.

parallèlomont à Taxe des 'z. On en conclut, daprès la forme connue de l'équation du plan tangent , que l'équation de la courbe enveloppe sera fournie par l'élimination de z entre les deux équations

ou encore par félimination de c entre celles-ci :

\i) / .r, ),fi=o, ~ - = o.

<tc

D'ailleurs, les coordonnées du point de l'enveloppe situé sur l'une des courbes proposées s'obtiendraient en remplaçant dans les équations ( 3 ) c par la valeur particulière qui caractérise cette courbe , et les résolvant par rapport à ./; et à j.

Remarque I. — La solution précédente dépend, comme on ie voit, de la méthode par les solides auxiliaires. Elle présente l'avantage de mettre très-simplement en lumière cette importante propriété , d'après laquelle la courbe enveloppe d'une série de lignes est tangente à chacune d'elles.

Soit en effet m un point commun à l'enveloppe et à celle des lignes données, amh , qui correspond à la valeur r, du paramètre. Menons par le point m une parallèle à l'axe des z qui touche la surface en M; par le point M menons le plan z = f, , qui coupe la surface (2) suivant la courbe AMB dont la projection sur le plan xy est la ligne amh.

La tangente en M à la première est située dans le plan tangent en M , lequel est parallèle à l'axe des z. La projection de cette tangente , c'està-dire la tangente en m à la ligne amh , sera donc la trace du plan tangent sur le plan xy, cest-à-dire la tangente en m. à la courbe enveloppe.

Remarque II. — Il peut arriver que l'enveloppe coïncide avec l'une des lignes enveloppées, c'est-à-dire que l'équation de l'enveloppe puisse se déduire de l'équation générale des enveloppées, en attribuant une valeur numérique convenable au paramètre c (*). C'est ce qui arrivera toutes les fois que la courbe de contact du cylindre parallèle à oz et circonscrit à la surface (2), sera plane et parallèle à xy\ et, dans ce cas, la combinaison des deux équations du système (3) devra conduire à une valeur numérique de c , indépendante de x et de y.

39. Enveloppe (Vune ligne de forme et de grandeur invariables qui se meut dans son pkm.

Théorème. — Le point où une ligne , de forme et de grandeur invariables, se mouvant dans son plan suivant une loi déterminée, touche son enveloppe , est le pied de la normale à cette ligne , menée par le centre instantané de rotation correspondant à la position actuelle de la ligne mobile.

') Calcul infiiiiirsimal do M. Lomnot, tome 1 , pag?./)3o.

SECONDE PAllTIE. 7I

DfinonstnUiini. — Observons dabord qiu\ si l'on a dcii.v couTbos //////;., a' inh ^ infiniment voisines et se coupant, par suite, sous un angle infiniment petit en m, la distance an' de deux points de ces courbes sera ou finie, ou infiniment petite du premier ordre, si les points a et a' sont situés à des distances finies du point m\ la distance ««'sera, au contraire, un infiniment petit du second ordre , si ces points sont situés à des distances infiniment petites du point m. C'est ce que montre la considération du triangle rectiligne aina' : car, dans le premier cas, les côtés nn/, a' m de ce triangle sont finis, et l'angle ama' est fini ou infiniment petit; et, dans le second cas, les côtés am , n'm sont infiniment petits, ainsi que l'angle ama'.

Cela posé, du centre instantané de rotation <>, correspondant à la position actuelle anib de la ligne mobile, menons la normale om à cette ligne. Le mouvement élémentaire de la ligne mobile, par lequel elle passe à la position infiniment voisine «,/«,^, , est un mouvement de rotation autour du point 0 par lequel le point m , en particulier, décrit le petit arc inin^ , ayant même tangente mt en m , que la ligne nnib. Joignons <>m^ qui , prolongée, coupe en t et en m' la tangente mt et la courbe ((mb. D'après le principe précédent, chacune des dist;ances w,^, tin' est un infiniment petit du deuxième ordre, et leur somme, c'est-à-dire la distance w,w', est du môme ordre : les points w, , m' sont donc , d'après le principe précédent , infiniment voisins du point d'intersection des deux lignes , {tnib ^ a^mj)^. Il en est donc de même du point /«; ce qui veut dire que le point vt est le point suivant lequel la ligne mobile touche son enveloppe.

Remarque. — Ce théorème trouve son application dans la théorie géométrique des engrenages.

§ II. — Étude du probliîme dans le cas spéciat, ou les lignes dont

ON CHERCHE l'eNVELOPPE SONT DES LIGNES DROITES.

40. i). Le problème ayant pour objet de déterminer l'enveloppe d'une série de droites se succédant d'une manière continue a été posé et résolu , pour la première fois , par Iluyghens dans son Hnroloj^ium oscillatorium , pour le cas le plus important où les droites considérées sont les diverses normales d'une courbe donnée , l'enveloppe recevant , dans 'ce cas spécial , le nom de développée de la courbe.

Dans la troisième partie de cet ouvrage, ayant pour titre De Unennun curvaritm evolutione et dimensione , Ilnyghens construit successivement les développées de la cyloïde , de la parabole et des coniques à centre (propositions 5, 8, 10, pages 66, 69, 79 "l; il établit ce théorème important que la développée d'une courbe géométrique est rectifiable (prop. j i, page 81) et appliqne celte théorie naissante à pliisi<H!rs problèmes étrangers à notre sujet.

72 i>KS METIÎOUrS IL\ (iKOMÉriili:.

Dans lexposition de ces belles découvertes, Huyghens adopte la marche syntliétKiue des anciens : pour la cycloïde , par exemple, il démontre que si Ton construit une seconde courbe égale à la premièpe et ayant avec elle certaines relations de position , les tangentes de cette seconde cycloïde se trouveront normales à la jiremicre , dont elle est. par conséquent, la dévelOi>pée.

Plus tard. Newton généralisa l'élégant théorème dlluyghens , .en établissant que la développée d'une épicycloïde est une seconde épicycloïde, semblable à la première. [Vhilosnphiœ natundis principia..., prop. 5o.)

De Tscliirnhausen ouvrit ensuite la voie à de nouvelles spéculations géométriques en considérant la courbe enveloppe d'une série de rayons lumineux réfléchis par une ligne dirimantc , et correspondant à des rayons incidents parallèles [Avta Lipsiir, novemb. 1682). Ces nouvelles coiu'bes reçurent le nom de cauxtUiues par réflexion , et furent étudiées par Delahire, Leibnitz [Jrtn L. ^ janv. 1689), et Jean BernouUi (janv. 1692). Enfin , Jean Bernoulli , considérant les caustiques par réfraction , donna la ■construction géométrique du point où chaque rayon réfracté touche son enveloppe (juin 1693), et le marquis de rHôpital [Analyse des inf. petits, proposition i, sections 6 et 7 ) substitua à ces constructions deux formules qui ont été reproduites par Petit et ont conservé son nom. [Corrc'spondanee sur l'École Polytechnique , tome II , page 354-)

2). Revenons au problème propesé. Il suffit évidemment, pour le résoudre , de déterminer le point ov'i chacune des droites données est rencontrée par la droite infiniment voisine; car ce point d'intersection étant défini géométriquement, il ne restera plus qu'à trouver le lieu géométrique de tous les points semblables, ce qui sera une pure question de géométrie ou d'analyse ordinaire, plus ou moins facile d'ailleurs.

Or on trouve, dans le Traité des Fluxions de Maclaurin, l'indication d'une méthode qui s'adapte parfaitement au problème actuel, et qui présente d'assez intimes analogies avec celle de Roberval pour la description des tangentes. On peut lui donner le nom de méthode parla conipai-aison des riitesses angulaires ^ et elle s'applique avec une égale facilité aux deux cas distincts que peut présenter le problème.

Premier cas. — Le niouvenu^nt de la droite variable est défini : 1" par le mouvement de l'un de ses points, a, qui est donné ; 2° par le mouvement angulaire correspondant de la droite , ce dernier mouvement étant rapporté à une droite fixe.

Solution. — Soient ah, (('h' les deux positions infiniment voisines de la droite mobile et f) leur point d'intersection; <ni' l'élément du chemin parcouru par le point directeur a, et w l'angle infiniment petit dont la direction de la droite a varié , dans le passage de sa première à sa seconde

position. Désignons par c/ l'angle sous lequel la droite c/A coupe la ligne «r/' décrite par le point directeur. On connaît par hypothèse la limite du rapport du niou\ein<'iil angulaire de la droite c/A au mouvemeni linéaire du

points, c'est-à-dire liai. — ,• Or le triangle infiniment petit oaa' nous fournit une seconde expression du même rapport, à savoir :

sinw

sinrt

:zr

an'

doii ,

en passant à 1

a limite ,

si a (i

aa'

d'où

^^ rui (I) ' na = sin <i lim.

On n'aura dotic., dans chaque cas particulier , qu'à déterminer, d'après les données de la question , la limite du rapport du mouvement recliligne du point a au mouvement angulaire de la droite ah ^ pour avoir résolu le problème.

Second cas. — Le mouvement de la droite ah est défini par les mouvements simultanés de deux de ses points a et b.

Solution. — Soient aa\ hW les chemins simultanément décrits par les

deux points directeurs; « et 6 les angles sous lesquels la droite ab coupe les lignes <-/«', bh\ et o le point d'intersection des deux droites. Désignons toujours par w le mouvement angulaire de la droite, dans le passage de sa {)remière à sa seconde position; appliquant la formule (I) à chacun des triangles oaa\ obb\ il vient

. -^,. ad' . . '^,. ùb' oa ~ sm a lim. - — , ou = sm o nm. — ■>

d'où , en divisant membre à membre ,

sm a

lim.