yi'jjjjlieations de la théorie précède nte

I. ThÉOBÈme. — Ucnveloppe du rayon du cercle générateur cpd aboutit au point décrivant d'une épicycloïde , est une seconde épicycloïde.

Démonstration. — Soit o la limite du point d'intersection des deux positions infiniment voisines am et a' m' du rayon qui aboutit au point décrivant du cercle générateur, on aura, d'après la formule (1) du numéro précédent ,

, . . '"^,. cifi' ■• <^fi'

(i oa = sine/ lim. — = cos oat lim.

D'ailleurs aa' ot '•> pcnivent s'exprimer V\m et l'autre au moyen de

74 DES MÉTHODES E\ GÉUMëTUIL.

l'angle 7 = tct\ dont le cercle générateur a tourné autour du point r, en passant de a en n'. Car si r, r' désignent les rayons du cercle li\e et du cercle mobile , on a dabord

et si Ton prend sur le cercle mobile l'arc auxiliaire //«/, = um, que l'on

joigne «'///,, on voit que l'angle w = r//«, «'///, se compose de deux par-

ties : la première est Tangle «///, «'///, = au, <i' u' ~ 7;

La seconde est l'angle /«,«'/«'; et comme l'arc ///,/«' est égal en longueur

à l'arc tt\ on a m. a' m' — -■/ -,i Ou a donc enfin r

et. en substituant les valeurs (2) et (3) dans (i), il vient oa = r' cos oat — ot . cos ont,

ce qui montre que le point o est le pied de la perpendiculaire abaissée du point t sur le rayon on.

Cela posé, sur at, comme diamètre, décrivons une circonférence qui passe par o; et soit M le point du cercle générateur primitif, diamétralement opposé au point décrivant /«. On aperçoit facilement que l'arc ta, de la circonférence «o^ , est de même longueur que l'arc /M delà circonférence M M/. Or, le point w décrivant une épicycloïde , le point M, qui lui est diamétralement opposé, décrit une seconde épicycloïde égale à la première , et ayant son origine quelque part en A sur la circonférence fixe, de sorte que l'arc ^M est équivalent à l'arc tk\ par suite, l'arc to est équivalent à l'arc ^A, et le point o décrit une épicycloïde ayant pour origine le point A. c. o- f- d.

Remarque — Si nous n'avions voulu appliquer les méthodes du numéro u ^ , précédent, nous aurions pu parvenir immédiate-

ment à la connaissance du point n où chaque rayon am touche son enveloppe. Il suffirait en effet de remaniuer que le point / est le centre instantané de rotation autour duquel s'effectue le mouvement élémentaire du cercle mobile //////, dans son passage à la position infiniment voisine u'm't'\ et que par suite le point où le rayon nm, invariablement lié au cercle mobile, touche son enveloppe, est précisément, d'après le théorème du n" 39. le pied de la perpendiculaire abaissée du point t sur ce rayon.