Problème des laa.stif/ucs par réfraction

Notation. — Soient ah la courbe dirimante qui séjjare les deux milieux, et/ l'origine des rayons lumineux ; fa^fh deux rayons incidents inliniment voisins; ac, bc les normales aux points d'incidence « , Z», se coupant en c ; af, bf les rayons réfractés ( réels ou virtuels) se coupant en /'. Nous désignerons en outre par /, i-\-di les angles aigus d'incidence en a, b; par /■', i' + di' les angles de réfractions correspondants et par n l'indice de réfraction, de sorte que l'on aura

sin i:= n. sin /', et, par suite,

( I ) cos i . di = n cos /' . di'.

Nous désignerons ac par p; af,'af' par /•, /•', ci nous regarderons r, r' ./•, comme positifs ou négatifs , suivant f/ite les droites af, af tomberont dans la concavité ou dans la conf'e.i'ité de la courbe. Er.fin , en a[)pelant r, /, /' les angles infiniment j)ctits acb, afb, af'b (c'est-à-dire les arcs qui les mesurent dans la circonférence dont le rayon est l'unité), nous aurons

fd) ^ , ab r, . (ilf -,

c = — , / = ± — cos / . / = ih — T- cos < ;

le signe ± ayant pour objet de rendre positifs, dans tous les cas, les facteurs - et -.•

Tout cela posé, il s'agit de déterminer le point/"' suivant lequel chaque rayon réfracté touche son enveloppe, ou, plus généralement, de trouver la relation qui existe entre p, /•, /•', /, i' et n.

Premier cas. — Le point /est situé dans la convexité do la courbe. ( Le

nombre /• est alors négatif, et l'on doit écrire /= -cosi.)

Egalons d'abord à zéro la différence des angles des triangles ./^c ,//'<• , il viiMit en simplifiant (et supposant, ce qui est permis, fa < fb),

I 2 1 di = c-\- =ab [

• Vp /•

Egalons de môme à zéro la différence des angles des triangles /V/r,/7;r : i". Si le ])oinl/'cst situé dans la concavité delà courbe comme dans la

fiyuro, on trouve facilement

(3) rli' = c-r = ab('- '''''

rar, /■ étant positif dans le cas actuel , on a

/ = + — cos ? • r

2". Si le point ,/' est situé dans la convexité de la courbe , comme le point/, on a, comme pour ce point,

car, 7-' étant négatif, on a

f = rCOS/ .

L'expression définitive de di' est donc la même dans les deux cas ; et si l'on substitue les valeurs de <■//, di' données par les formules [1) et (3) dans la relation (1 ) , il vient , en divisant par cdi ,

.fs . / I cosA ., /i cosi'

J COS M • ) = /? COS / r-

Sccnnd cas. — Le point/ est situé dans la concavité de la courbe. Le nombre /• est donc positif, et Ton a

r (il)